номер 149, страница 35, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

149. Какие из следующих величин являются обратно пропорциональными:

1) длина и высота прямоугольного параллелепипеда, если его объем равен $180 \text{ дм}^3$ и ширина — $15 \text{ дм}$;

2) цена $1 \text{ м}$ ткани и количество ткани, купленной на $650 \text{ тг}$;

3) время, затраченное на вспашку поля, и количество горючего, израсходованного трактором;

4) время, затраченное на вспашку $900 \text{ га}$ земли, и количество тракторов одинаковой мощности?

1) длина и высота прямоугольного параллелепипеда, если его объем равен 180 дм³ и ширина — 15 дм;

Две величины называются обратно пропорциональными, если их произведение является постоянной величиной. Обозначим длину как $\text{l}$, высоту как $\text{h}$, ширину как $\text{w}$ и объем как $\text{V}$. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: $V = l \cdot w \cdot h$.

По условию, объем $V = 180 \text{ дм}^3$ и ширина $w = 15 \text{ дм}$ являются постоянными величинами. Подставим их в формулу:

$180 = l \cdot 15 \cdot h$

Выразим произведение длины и высоты:

$l \cdot h = \frac{180}{15}$

$l \cdot h = 12$

Произведение длины $\text{l}$ и высоты $\text{h}$ равно константе (12). Следовательно, эти величины являются обратно пропорциональными. При увеличении длины, высота должна уменьшиться, чтобы их произведение оставалось равным 12.

Ответ: являются обратно пропорциональными.

2) цена 1 м ткани и количество ткани, купленной на 650 тг;

Обозначим цену 1 м ткани как $\text{p}$, а количество купленной ткани как $\text{q}$. Общая стоимость покупки $\text{C}$ вычисляется по формуле: $C = p \cdot q$.

По условию, общая стоимость покупки является постоянной величиной: $C = 650 \text{ тг}$.

Следовательно, $p \cdot q = 650$.

Произведение цены $\text{p}$ и количества $\text{q}$ является постоянной величиной (650). Это означает, что величины обратно пропорциональны. Чем выше цена за метр, тем меньшее количество ткани можно купить на ту же сумму, и наоборот.

Ответ: являются обратно пропорциональными.

3) время, затраченное на вспашку поля, и количество горючего, израсходованного трактором;

При вспашке поля трактор расходует горючее. Чем дольше работает трактор, тем больше горючего он израсходует. Обозначим время как $\text{t}$, а количество горючего как $\text{F}$. Если предположить, что расход горючего в единицу времени постоянен (равен $\text{k}$), то зависимость будет прямой: $F = k \cdot t$.

При увеличении времени $\text{t}$ количество израсходованного горючего $\text{F}$ также увеличивается. Это пример прямой пропорциональности, а не обратной.

Ответ: не являются обратно пропорциональными.

4) время, затраченное на вспашку 900 га земли, и количество тракторов одинаковой мощности?

Обозначим время, затраченное на работу, как $\text{t}$, а количество тракторов как $\text{n}$. Общий объем работы $\text{W}$ (в данном случае, вспашка 900 га) является постоянной величиной.

Весь объем работы равен произведению производительности на время. Если один трактор выполняет работу с производительностью $\text{P}$, то $\text{n}$ тракторов будут иметь общую производительность $n \cdot P$. Тогда объем работы $W = (n \cdot P) \cdot t$.

Поскольку все тракторы одинаковой мощности, их производительность $\text{P}$ можно считать константой. Объем работы также константа: $W = 900 \text{ га}$.

$900 = n \cdot P \cdot t$

Выразим произведение интересующих нас величин, времени $\text{t}$ и количества тракторов $\text{n}$:

$n \cdot t = \frac{900}{P}$

Так как $900$ и $\text{P}$ — константы, их частное $\frac{900}{P}$ также является константой. Произведение количества тракторов $\text{n}$ и времени $\text{t}$ является постоянной величиной. Следовательно, эти величины обратно пропорциональны. Чем больше тракторов работает, тем меньше времени потребуется на вспашку поля.

Ответ: являются обратно пропорциональными.