номер 4, страница 34, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Почему периметр квадрата прямо пропорционален длине его стороны, а площадь — нет?

Для начала определим, что такое прямая пропорциональность. Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Математически это выражается формулой $y = kx$, где $\text{y}$ и $\text{x}$ — это наши величины, а $\text{k}$ — постоянный, не равный нулю коэффициент пропорциональности. Отношение таких величин всегда постоянно: $y/x = k$.

Теперь рассмотрим периметр и площадь квадрата с этой точки зрения.

Почему периметр квадрата прямо пропорционален длине его стороны

Пусть длина стороны квадрата равна $\text{a}$. Периметр квадрата, $\text{P}$, — это сумма длин всех его четырех сторон.

Формула для вычисления периметра: $P = a + a + a + a = 4a$

Эта формула $P = 4a$ полностью соответствует определению прямой пропорциональности $y = kx$. Здесь:

• $\text{P}$ выступает в роли $\text{y}$.
• $\text{a}$ выступает в роли $\text{x}$.
• Коэффициент пропорциональности $\text{k}$ равен 4.

Это означает, что во сколько раз мы увеличим сторону квадрата $\text{a}$, ровно во столько же раз увеличится его периметр $\text{P}$. Например, если увеличить сторону в 2 раза, периметр тоже увеличится в 2 раза. Если увеличить сторону в 3 раза, периметр увеличится в 3 раза. Отношение $P/a = 4$ всегда является постоянной величиной.

Ответ: Периметр квадрата прямо пропорционален его стороне, так как их связывает линейная зависимость $P = 4a$, которая соответствует формуле прямой пропорциональности $y = kx$ с коэффициентом $k=4$.

Почему площадь квадрата не является прямо пропорциональной длине его стороны

Площадь квадрата, $\text{S}$, вычисляется как произведение двух его смежных сторон.

Формула для вычисления площади: $S = a \cdot a = a^2$

Эта формула $S = a^2$ не соответствует виду $y = kx$. Зависимость здесь не линейная, а квадратичная. Это означает, что при увеличении стороны $\text{a}$ в несколько раз, площадь $\text{S}$ увеличивается в гораздо большей степени.

Например:

• Если сторона $a=2$ см, то площадь $S = 2^2 = 4$ см².
• Если мы увеличим сторону в 2 раза, до $a=4$ см, то площадь станет $S = 4^2 = 16$ см².

Сторона увеличилась в 2 раза, а площадь увеличилась в $16/4 = 4$ раза (то есть в $2^2$ раза). Если бы мы увеличили сторону в 3 раза, площадь увеличилась бы в $3^2 = 9$ раз. Отношение $S/a = a^2/a = a$ не является постоянной величиной, оно само зависит от $\text{a}$.

Ответ: Площадь квадрата не является прямо пропорциональной его стороне, так как она зависит от квадрата стороны ($S = a^2$). Это квадратичная зависимость, а не линейная, как того требует определение прямой пропорциональности.