номер 705, страница 155, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

705. Запишите неравенство с переменной, допустимыми значениями которого являются все числа, кроме:

1) $\text{5}$;

2) $-7,3$;

3) $-4,2$; $\text{0}$;

4) $-3$; $\frac{1}{3}$.

1) Чтобы исключить значение $x=5$ из области допустимых значений переменной, необходимо создать выражение, которое не определено в этой точке. Чаще всего для этого используют дроби, знаменатель которых обращается в ноль. В данном случае знаменатель должен быть равен нулю при $x=5$. Этому условию отвечает выражение $(x-5)$.

Для того чтобы составить неравенство, область допустимых значений которого — все числа, кроме 5, можно использовать конструкцию, которая будет верна для всех $x \neq 5$. Например, неравенство вида $\frac{1}{(x-5)^2} > 0$.

Знаменатель $(x-5)^2$ равен нулю при $x=5$, поэтому в этой точке выражение не определено. При всех остальных значениях $\text{x}$ знаменатель $(x-5)^2$ строго положителен (как квадрат ненулевого числа). Следовательно, дробь $\frac{1}{(x-5)^2}$ также будет строго положительна. Таким образом, неравенство выполняется для всех допустимых значений переменной, а допустимыми значениями являются все числа, кроме 5.

Ответ: $\frac{1}{(x-5)^2} > 0$.

2) Требуется исключить значения $x=-7$ и $x=3$. Для этого в знаменателе дроби должны содержаться множители, обращающиеся в ноль в этих точках. Это множители $(x - (-7))$, то есть $(x+7)$, и $(x-3)$.

Составим неравенство по аналогии с предыдущим пунктом, используя в знаменателе произведение этих множителей в квадрате: $\frac{1}{((x+7)(x-3))^2} > 0$.

Знаменатель $((x+7)(x-3))^2$ равен нулю, если $x+7=0$ или $x-3=0$, то есть при $x=-7$ и $x=3$. При всех других значениях $\text{x}$ оба множителя не равны нулю, их произведение не равно нулю, а квадрат этого произведения строго положителен. Тогда и вся дробь будет строго положительна. Таким образом, допустимые значения для этого неравенства — все числа, кроме -7 и 3.

Ответ: $\frac{1}{((x+7)(x-3))^2} > 0$.

3) Необходимо исключить значения $x=-4,2$ и $x=0$. Соответствующие множители в знаменателе будут $(x - (-4,2))$, то есть $(x+4,2)$, и $(x-0)$, то есть $\text{x}$.

Составим неравенство: $\frac{1}{(x(x+4,2))^2} > 0$.

Знаменатель $(x(x+4,2))^2$ равен нулю при $x=0$ и $x=-4,2$. Во всех остальных случаях он строго положителен. Следовательно, неравенство выполняется для всех $\text{x}$, при которых оно определено, а область допустимых значений — это все действительные числа, кроме -4,2 и 0.

Ответ: $\frac{1}{(x(x+4,2))^2} > 0$.

4) Нужно исключить значения $x=-3$ и $x=\frac{1}{3}$. Множители в знаменателе должны обращаться в ноль в этих точках. Это множители $(x+3)$ и $(x-\frac{1}{3})$. Чтобы избежать дробей в самом выражении, множитель $(x-\frac{1}{3})$ можно домножить на 3, получив $(3x-1)$. У выражений $(x-\frac{1}{3})$ и $(3x-1)$ один и тот же корень $x=\frac{1}{3}$.

Составим неравенство с использованием множителей $(x+3)$ и $(3x-1)$: $\frac{1}{((x+3)(3x-1))^2} > 0$.

Знаменатель $((x+3)(3x-1))^2$ равен нулю при $x=-3$ и $x=\frac{1}{3}$. При всех остальных значениях $\text{x}$ знаменатель строго положителен, и, следовательно, неравенство верно. Таким образом, область допустимых значений — все числа, кроме -3 и $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{((x+3)(3x-1))^2} > 0$.