номер 3, страница 10, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Можно ли одно и то же уравнение решить разными способами?

Да, безусловно. Одно и то же математическое уравнение или задачу часто можно решить несколькими различными способами. Выбор способа может зависеть от личных предпочтений, уровня знаний, сложности уравнения или конкретных условий задачи. Разные методы могут отличаться по скорости, сложности вычислений или наглядности.

Рассмотрим это на примере квадратного уравнения: $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Способ 1: Решение через дискриминант

Это наиболее универсальный способ решения квадратных уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$. Сначала вычисляется дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Затем корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

В нашем уравнении $x^2 - 5x + 6 = 0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=-5$, $c=6$.

1. Найдем дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 2$.

Способ 2: Решение с помощью теоремы Виета

Теорема Виета особенно удобна для приведенных квадратных уравнений (где коэффициент $a=1$), вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме, сумма корней равна $-p$, а их произведение равно $\text{q}$.

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Для нашего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$: $p = -5$, $q = 6$.

Получаем систему:

$x_1 + x_2 = -(-5) = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Теперь нужно подобрать два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Легко догадаться, что это числа 2 и 3. Действительно, $2 \cdot 3 = 6$ и $2 + 3 = 5$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 3$.

Способ 3: Решение методом разложения на множители (факторизация)

Этот метод заключается в представлении квадратного трехчлена в виде произведения двух линейных множителей. Если уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ можно записать как $(x - x_1)(x - x_2) = 0$, то его корнями будут $x_1$ и $x_2$.

Рассмотрим наше уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

1. Представим средний член $-5x$ в виде суммы двух слагаемых так, чтобы можно было применить метод группировки. Нам нужны два числа, сумма которых равна -5, а произведение равно $6 \cdot 1 = 6$. Это числа -2 и -3.

$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$.

2. Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 2x) + (-3x + 6) = 0$.

3. Вынесем общий множитель из каждой скобки:

$x(x - 2) - 3(x - 2) = 0$.

4. Вынесем общий множитель $(x - 2)$:

$(x - 2)(x - 3) = 0$.

5. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 2 = 0$ или $x - 3 = 0$.

Отсюда получаем корни: $x = 2$ или $x = 3$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 3$.

Как видно из примеров, все три различных способа приводят к одному и тому же верному результату. Это доказывает, что одно уравнение можно успешно решить разными методами.