номер 1, страница 100, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие виды симметрии вы знаете?

Симметрия (от др.-греч. συμμετρία — «соразмерность») — это фундаментальное свойство объектов или систем сохранять свою структуру, форму и свойства при определенных преобразованиях. Существует множество видов симметрии, которые проявляются в геометрии, физике, химии, биологии, искусстве и других областях. Основными видами геометрической симметрии являются:

1. Осевая (зеркальная) симметрия

Это симметрия относительно прямой (в двумерном пространстве), называемой осью симметрии, или плоскости (в трехмерном пространстве), называемой плоскостью симметрии. Фигура считается симметричной относительно оси (плоскости), если при отражении относительно неё она переходит сама в себя. Для каждой точки фигуры $\text{M}$ симметричная ей точка $M'$ также принадлежит этой фигуре.

Пример на плоскости: Отражение точки $M(x, y)$ относительно оси ординат $OY$ переводит ее в точку $M'(-x, y)$. Равнобедренный треугольник, бабочка, лицо человека (приблизительно) обладают осевой симметрией.

Пример в пространстве: Отражение точки $M(x, y, z)$ относительно координатной плоскости $xOy$ переводит ее в точку $M'(x, y, -z)$.

2. Центральная симметрия

Это симметрия относительно точки, называемой центром симметрии. Фигура симметрична относительно центра $\text{O}$, если для каждой ее точки $\text{M}$ существует точка $M'$, также принадлежащая фигуре, такая что точка $\text{O}$ является серединой отрезка $MM'$. Центральная симметрия на плоскости эквивалентна повороту на $180^\circ$ вокруг центра симметрии.

Пример: Симметрия относительно начала координат $O(0,0)$ переводит точку $M(x, y)$ в точку $M'(-x, -y)$. Окружность, параллелограмм, эллипс обладают центральной симметрией.

3. Поворотная (вращательная) симметрия

Это симметрия относительно поворота на определенный угол вокруг точки (в 2D) или оси (в 3D). Если фигура совпадает сама с собой при повороте на угол $\alpha$, где $0^\circ < \alpha < 360^\circ$, она обладает поворотной симметрией. Если наименьший такой угол равен $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$ (где $\text{n}$ — целое число больше 1), то говорят о симметрии $\text{n}$-го порядка.

Пример: Правильный треугольник имеет поворотную симметрию 3-го порядка (углы поворота $120^\circ, 240^\circ$). Квадрат — 4-го порядка ($90^\circ, 180^\circ, 270^\circ$). Снежинка обычно имеет поворотную симметрию 6-го порядка.

Математически поворот точки $(x, y)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат описывается формулами:

$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$

$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

4. Переносная (трансляционная) симметрия

Это симметрия относительно параллельного переноса на определенный вектор. Объект (часто бесконечный) обладает переносной симметрией, если он совпадает сам с собой при сдвиге в определенном направлении на определенное расстояние. Этот вид симметрии характерен для орнаментов, узоров, бордюров и кристаллических решеток.

Пример: График функции $y=\sin(x)$ совпадает сам с собой при сдвиге вдоль оси $OX$ на вектор $(2\pi k, 0)$, где $\text{k}$ — любое целое число. Перенос точки $M(x, y)$ на вектор $\vec{v}(a, b)$ приводит к точке $M'(x+a, y+b)$.

5. Скользящая симметрия

Это композиция (последовательное выполнение) осевой симметрии относительно некоторой прямой $\text{l}$ и параллельного переноса на вектор, параллельный этой прямой $\text{l}$. Простейший пример — следы ног человека на ровной поверхности.

Помимо геометрических, существуют и другие важные виды симметрии:

• Симметрия в физике: Понятие симметрии является центральным в современной физике. Например, законы сохранения (энергии, импульса, момента импульса) являются следствиями симметрий пространства и времени. Калибровочные симметрии лежат в основе Стандартной модели физики элементарных частиц.

• Симметрия в биологии: Билатеральная (двусторонняя) симметрия, характерная для большинства животных, включая человека, и радиальная (лучевая) симметрия, свойственная, например, морским звездам и медузам.

• Химическая симметрия: Симметрия молекул определяет многие их физические и химические свойства, такие как наличие дипольного момента и оптическая активность.

Ответ:

Основные виды геометрической симметрии включают осевую (зеркальную), центральную, поворотную, переносную (трансляционную) и скользящую. Кроме геометрии, понятие симметрии является ключевым в физике (например, калибровочная симметрия), биологии (билатеральная и радиальная симметрия), химии и искусстве.