Номер 34, страница 12, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

34. Вычислите рациональным способом:

1) $\frac{0,2+0,4+0,6+0,8+1+1,2}{1,2+1,4+1,6+1,8+2+2,2+2,4+2,6+2,8+3};$

2) $(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5})+(\frac{1}{6}+\frac{2}{7}+\frac{3}{8})+(\frac{5}{8}+\frac{5}{7}+\frac{5}{6})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}).$

1)

Для вычисления значения дроби рациональным способом, заметим, что и в числителе, и в знаменателе находятся суммы членов арифметической прогрессии с одинаковой разностью $d=0,2$. Рационально будет вынести общий множитель за скобки.

Исходное выражение:

$ \frac{0,2+0,4+0,6+0,8+1+1,2}{1,2+1,4+1,6+1,8+2+2,2+2,4+2,6+2,8+3} $

Вынесем общий множитель $0,2$ в числителе и знаменателе.

Числитель: $0,2+0,4+0,6+0,8+1+1,2 = 0,2 \cdot (1+2+3+4+5+6)$.

Знаменатель: $1,2+1,4+...+3 = 0,2 \cdot (6+7+8+9+10+11+12+13+14+15)$.

Перепишем дробь с вынесенным множителем:

$ \frac{0,2 \cdot (1+2+3+4+5+6)}{0,2 \cdot (6+7+8+9+10+11+12+13+14+15)} $

Сократим общий множитель $0,2$:

$ \frac{1+2+3+4+5+6}{6+7+8+9+10+11+12+13+14+15} $

Теперь вычислим сумму в числителе. Это сумма первых 6 натуральных чисел, которая является арифметической прогрессией. Воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$:

$S_{числ} = 1+2+3+4+5+6 = \frac{6 \cdot (1+6)}{2} = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$.

Вычислим сумму в знаменателе. Это сумма 10 членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1=6$, а последний $a_{10}=15$:

$S_{знам} = 6+7+...+15 = \frac{10 \cdot (6+15)}{2} = \frac{10 \cdot 21}{2} = 5 \cdot 21 = 105$.

Подставим полученные значения в дробь и вычислим результат:

$ \frac{21}{105} = \frac{21}{5 \cdot 21} = \frac{1}{5} = 0,2 $.

Ответ: $0,2$

2)

Рассмотрим выражение:

$(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5})+(\frac{1}{6}+\frac{2}{7}+\frac{3}{8})+(\frac{5}{8}+\frac{5}{7}+\frac{5}{6})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3})$

Рациональный способ вычисления заключается в том, чтобы перегруппировать слагаемые. Так как вся операция представляет собой сложение, мы можем раскрыть скобки и сгруппировать дроби с одинаковыми знаменателями, используя переместительное и сочетательное свойства сложения.

$ \frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{1}{6}+\frac{2}{7}+\frac{3}{8}+\frac{5}{8}+\frac{5}{7}+\frac{5}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3} $

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:

$ (\frac{2}{3}+\frac{1}{3}) + (\frac{3}{4}+\frac{1}{4}) + (\frac{4}{5}+\frac{1}{5}) + (\frac{1}{6}+\frac{5}{6}) + (\frac{2}{7}+\frac{5}{7}) + (\frac{3}{8}+\frac{5}{8}) $

Вычислим сумму в каждой из скобок:

$ \frac{2}{3}+\frac{1}{3} = \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1 $

$ \frac{3}{4}+\frac{1}{4} = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1 $

$ \frac{4}{5}+\frac{1}{5} = \frac{4+1}{5} = \frac{5}{5} = 1 $

$ \frac{1}{6}+\frac{5}{6} = \frac{1+5}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

$ \frac{2}{7}+\frac{5}{7} = \frac{2+5}{7} = \frac{7}{7} = 1 $

$ \frac{3}{8}+\frac{5}{8} = \frac{3+5}{8} = \frac{8}{8} = 1 $

Теперь сложим полученные результаты:

$ 1+1+1+1+1+1 = 6 $

Ответ: $\text{6}$