Номер 1073, страница 91, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1073. Дан треугольник $ABC$. Через вершину $\text{A}$ проведите прямую, параллельную стороне $BC$, через вершину $\text{B}$ – прямую, параллельную стороне $AC$, через вершину $\text{C}$ – прямую, параллельную стороне $AB$. Сколько попарно параллельных отрезков получилось? Запишите их. Сколько треугольников получилось?

Для решения задачи выполним построение. Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем через каждую вершину прямую, параллельную противолежащей стороне:

• через вершину $\text{A}$ проведем прямую $\text{a}$, параллельную стороне $BC$;
• через вершину $\text{B}$ проведем прямую $\text{b}$, параллельную стороне $AC$;
• через вершину $\text{C}$ проведем прямую $\text{c}$, параллельную стороне $AB$.

Эти три прямые, попарно пересекаясь, образуют новый, больший треугольник. Обозначим его вершины как $P, Q, R$:

• $P = b \cap c$ (пересечение прямых, проходящих через $\text{B}$ и $\text{C}$)
• $Q = a \cap c$ (пересечение прямых, проходящих через $\text{A}$ и $\text{C}$)
• $R = a \cap b$ (пересечение прямых, проходящих через $\text{A}$ и $\text{B}$)

В получившейся фигуре можно выделить несколько параллелограммов, так как их противолежащие стороны по построению параллельны:

• $ACBR$ (так как $AR \parallel BC$ и $BR \parallel AC$)
• $ABCQ$ (так как $AQ \parallel BC$ и $CQ \parallel AB$)
• $ABPC$ (так как $PC \parallel AB$ и $BP \parallel AC$)

Сколько попарно параллельных отрезков получилось? Запишите их.

Из свойств параллелограммов и по самому условию построения следует, что каждая сторона исходного треугольника $ABC$ параллельна соответствующей стороне большого треугольника $PQR$. Более того, она параллельна и частям этой стороны.

Можно выделить три группы параллельных отрезков:

1. Отрезки, параллельные стороне $BC$: это отрезки $AQ$, $AR$ и $QR$, лежащие на прямой $\text{a}$. Таким образом, мы имеем следующие пары параллельных отрезков: $BC \parallel AQ$, $BC \parallel AR$, $BC \parallel QR$.
2. Отрезки, параллельные стороне $AC$: это отрезки $BP$, $BR$ и $PR$, лежащие на прямой $\text{b}$. Пары параллельных отрезков: $AC \parallel BP$, $AC \parallel BR$, $AC \parallel PR$.
3. Отрезки, параллельные стороне $AB$: это отрезки $CP$, $CQ$ и $PQ$, лежащие на прямой $\text{c}$. Пары параллельных отрезков: $AB \parallel CP$, $AB \parallel CQ$, $AB \parallel PQ$.

Если считать каждую пару, состоящую из стороны исходного треугольника и отрезка на новой параллельной прямой, то всего получается $3+3+3=9$ пар.

Ответ: Получилось 9 основных пар параллельных отрезков: $BC \parallel AQ$, $BC \parallel AR$, $BC \parallel QR$, $AC \parallel BP$, $AC \parallel BR$, $AC \parallel PR$, $AB \parallel CP$, $AB \parallel CQ$, $AB \parallel PQ$.

Сколько треугольников получилось?

В получившейся фигуре можно увидеть следующие треугольники:

1. Исходный треугольник $\triangle ABC$.
2. Три треугольника, примыкающие к вершинам большого треугольника: $\triangle AQC$, $\triangle ARB$ и $\triangle BPC$. Из свойств параллелограммов следует, что все эти три треугольника равны исходному треугольнику $\triangle ABC$.
3. Большой треугольник $\triangle PQR$, образованный тремя построенными прямыми.

Таким образом, всего в полученной фигуре можно насчитать 5 треугольников.

Ответ: 5 треугольников.