Номер 1156, страница 119, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1156. На сфере проведены две окружности (рис. 7.12).

1. На сколько частей разделена сфера данными окружностями?

2. Сколько точек пересечения у этих окружностей?

Рис. 7.12

1. На сколько частей разделена сфера данными окружностями?

Рассмотрим последовательное деление сферы. Одна большая окружность (например, аналог экватора) делит поверхность сферы на две равные части — два полушария.

Вторая большая окружность пересекает первую в двух точках. Проходя через оба полушария, она делит каждое из них еще на две части.

Таким образом, исходные два полушария превращаются в четыре области. Можно представить себе глобус, разделенный экватором и нулевым меридианом (вместе со 180-м меридианом, образующим полную окружность). Это деление создает четыре квадранта на поверхности Земли.

С точки зрения топологии, можно применить формулу Эйлера для сферы: $V - E + F = 2$, где $\text{V}$ — количество вершин (точек пересечения), $\text{E}$ — количество ребер (дуг), а $\text{F}$ — количество граней (частей).

В данном случае окружности пересекаются в двух точках, поэтому $V = 2$. Каждая окружность разделена на две дуги точками пересечения, так что всего у нас 4 дуги, то есть $E = 4$.

Подставляя в формулу: $2 - 4 + F = 2$.

Отсюда следует, что $-2 + F = 2$, и $F = 4$.

Ответ: 4.

2. Сколько точек пересечения у этих окружностей?

На рисунке изображены две большие окружности сферы. Большая окружность — это линия пересечения сферы с плоскостью, проходящей через ее центр.

Две различные плоскости, проходящие через одну общую точку (в данном случае — центр сферы), пересекаются по прямой, которая также проходит через эту точку.

Эта прямая, являясь диаметром сферы, пересекает ее поверхность в двух диаметрально противоположных точках. Именно эти две точки и являются точками пересечения двух больших окружностей.

Таким образом, любые две различные большие окружности на сфере всегда имеют ровно две точки пересечения.

Ответ: 2.