Номер 867, страница 31, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

867. Докажите верность неравенств:

1)

$2,8a+3\frac{1}{2}\ge 6,3$ при $a \ge 1$;

2)

$1,3+\frac{2b}{3}<1,3$ при $b < 0$;

3)

$5,1a-\frac{5}{9}<0$ при $a < 0$;

4)

$4,6+\frac{3}{4}a > -10$ при $a > 0$.

1)

Требуется доказать, что $2,8a + 3\frac{1}{2} \ge 6,3$ при $a \ge 1$.

Сначала преобразуем смешанную дробь в десятичную: $3\frac{1}{2} = 3,5$. Неравенство принимает вид $2,8a + 3,5 \ge 6,3$.

Воспользуемся данным условием $a \ge 1$. Умножим обе части на положительное число $2,8$, знак неравенства при этом не изменится:

$2,8 \cdot a \ge 2,8 \cdot 1$

$2,8a \ge 2,8$

Теперь прибавим к обеим частям полученного неравенства число $3,5$:

$2,8a + 3,5 \ge 2,8 + 3,5$

$2,8a + 3,5 \ge 6,3$

Это доказывает верность исходного неравенства.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Требуется доказать, что $1,3 + \frac{2b}{3} < 1,3$ при $b < 0$.

Воспользуемся данным условием $b < 0$. Так как $\frac{2}{3} > 0$, то при умножении неравенства на это число знак не изменится:

$\frac{2}{3} \cdot b < \frac{2}{3} \cdot 0$

$\frac{2b}{3} < 0$

Это означает, что слагаемое $\frac{2b}{3}$ является отрицательным. Если к числу $1,3$ прибавить отрицательное число, результат будет меньше $1,3$.

Формально, прибавим $1,3$ к обеим частям неравенства $\frac{2b}{3} < 0$:

$1,3 + \frac{2b}{3} < 1,3 + 0$

$1,3 + \frac{2b}{3} < 1,3$

Это доказывает верность исходного неравенства.

Ответ: Неравенство доказано.

3)

Требуется доказать, что $5,1a - \frac{5}{9} < 0$ при $a < 0$.

Воспользуемся данным условием $a < 0$. Умножим обе части на положительное число $5,1$, знак неравенства не изменится:

$5,1 \cdot a < 5,1 \cdot 0$

$5,1a < 0$

Мы получили, что выражение $5,1a$ отрицательно. Если из отрицательного числа вычесть положительное число $\frac{5}{9}$, результат будет заведомо отрицательным.

Формально, вычтем $\frac{5}{9}$ из обеих частей неравенства $5,1a < 0$:

$5,1a - \frac{5}{9} < 0 - \frac{5}{9}$

$5,1a - \frac{5}{9} < -\frac{5}{9}$

Поскольку любое число, которое меньше отрицательного числа $-\frac{5}{9}$, очевидно меньше и нуля, то $5,1a - \frac{5}{9} < 0$.

Ответ: Неравенство доказано.

4)

Требуется доказать, что $4,6 + \frac{3}{4}a > -10$ при $a > 0$.

Воспользуемся данным условием $a > 0$. Умножим обе части на положительное число $\frac{3}{4}$, знак неравенства не изменится:

$\frac{3}{4} \cdot a > \frac{3}{4} \cdot 0$

$\frac{3}{4}a > 0$

Прибавим к обеим частям полученного неравенства число $4,6$:

$4,6 + \frac{3}{4}a > 4,6 + 0$

$4,6 + \frac{3}{4}a > 4,6$

Мы знаем, что $4,6 > -10$. Так как левая часть неравенства ($4,6 + \frac{3}{4}a$) больше, чем $4,6$, то она тем более больше, чем $-10$.

По свойству транзитивности, из $4,6 + \frac{3}{4}a > 4,6$ и $4,6 > -10$ следует, что $4,6 + \frac{3}{4}a > -10$.

Ответ: Неравенство доказано.