Номер 869, страница 32, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Составьте неравенства по содержанию задач и решите их (868–870).

869. В трех коробках лежат 12 карандашей. Количество карандашей в третьей коробке больше, чем количество карандашей в первой коробке, но меньше, чем во второй коробке. Если в третьей коробке будет 4 карандаша, то сколько карандашей может быть в первой и второй коробках? Сколько решений имеет задача?

Пусть $x_1$, $x_2$ и $x_3$ — количество карандашей в первой, второй и третьей коробках соответственно. Так как речь идет о количестве предметов, эти значения должны быть целыми и неотрицательными.

Согласно условию, общее количество карандашей равно 12. Это можно записать в виде уравнения:

$x_1 + x_2 + x_3 = 12$

Также в условии сказано, что количество карандашей в третьей коробке больше, чем в первой, но меньше, чем во второй. Это выражается двойным неравенством:

$x_1 < x_3 < x_2$

Далее, в задаче уточняется, что в третьей коробке находится 4 карандаша, то есть $x_3 = 4$.

Подставим известное значение $x_3 = 4$ в наше уравнение и неравенство.

Уравнение примет вид:

$x_1 + x_2 + 4 = 12$

Перенесем 4 в правую часть, чтобы найти сумму карандашей в первой и второй коробках:

$x_1 + x_2 = 12 - 4$

$x_1 + x_2 = 8$

Неравенство после подстановки $x_3 = 4$ будет выглядеть так:

$x_1 < 4 < x_2$

Теперь перед нами стоит задача найти все целые неотрицательные решения ($x_1 \ge 0$) для системы, состоящей из уравнения $x_1 + x_2 = 8$ и неравенств $x_1 < 4$ и $x_2 > 4$.

Из неравенства $x_1 < 4$ следует, что количество карандашей в первой коробке может быть 0, 1, 2 или 3. Рассмотрим последовательно каждый из этих случаев.

1. Пусть в первой коробке $x_1 = 3$. Тогда из уравнения $x_1 + x_2 = 8$ найдем количество карандашей во второй коробке: $x_2 = 8 - 3 = 5$. Проверим, выполняется ли неравенство $x_2 > 4$. Так как $5 > 4$, это решение подходит.

2. Пусть в первой коробке $x_1 = 2$. Тогда $x_2 = 8 - 2 = 6$. Проверяем неравенство: $6 > 4$. Это решение также подходит.

3. Пусть в первой коробке $x_1 = 1$. Тогда $x_2 = 8 - 1 = 7$. Проверяем неравенство: $7 > 4$. Это решение подходит.

4. Пусть в первой коробке $x_1 = 0$ (она пустая). Тогда $x_2 = 8 - 0 = 8$. Проверяем неравенство: $8 > 4$. И это решение подходит.

Если бы мы взяли $x_1 = 4$, это бы противоречило строгому неравенству $x_1 < 4$, поэтому мы рассмотрели все возможные варианты.

Таким образом, мы нашли четыре возможных распределения карандашей по первой и второй коробкам, удовлетворяющих всем условиям задачи. Это означает, что задача имеет четыре решения.

Ответ: В первой и второй коробках может быть соответственно: 3 и 5 карандашей; 2 и 6 карандашей; 1 и 7 карандашей; 0 и 8 карандашей. Задача имеет 4 решения.