Номер 871, страница 32, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

871. Дополните четырехугольник $ABCD$ и треугольник $EFK$ до прямоугольников (рис. 5.2). Найдите площадь каждой фигуры в квадратных сантиметрах. Площадь четырех клеток тетради примите за $1 \text{ см}^2$.

1) 2) Рис. 5.2

Для решения задачи сначала определим, чему равна площадь одной клетки. По условию, площадь четырех клеток равна 1 см², следовательно, площадь одной клетки составляет $S_{кл} = \frac{1}{4}$ см².

1)

Чтобы найти площадь четырехугольника $ABCD$, дополним его до прямоугольника. Для этого проведем через крайние точки фигуры (вершины $A, B, C, D$) горизонтальные и вертикальные прямые.

Получится прямоугольник, стороны которого равны 8 клеток и 6 клеток. Площадь этого большого прямоугольника в клетках равна:

$S_{прям} = 8 \times 6 = 48$ клеток.

Внутри этого прямоугольника, помимо искомого четырехугольника $ABCD$, находятся четыре одинаковых прямоугольных треугольника по углам. Катеты каждого из этих треугольников равны 4 клетки и 3 клетки. Площадь одного такого треугольника равна:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ клеток.

Суммарная площадь всех четырех треугольников составляет:

$4 \times S_{\triangle} = 4 \times 6 = 24$ клетки.

Площадь четырехугольника $ABCD$ можно найти, вычтя из площади большого прямоугольника суммарную площадь четырех треугольников:

$S_{ABCD} = S_{прям} - 4 \times S_{\triangle} = 48 - 24 = 24$ клетки.

Теперь переведем площадь в квадратные сантиметры:

$S_{ABCD} = 24 \times \frac{1}{4} \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см².

2)

Чтобы найти площадь треугольника $EFK$, также дополним его до прямоугольника. Проведем прямоугольник так, чтобы сторона $EK$ легла на одну из его сторон, а вершина $\text{F}$ — на противоположную сторону.

Длина основания $EK$ составляет 8 клеток. Высота, проведенная из вершины $\text{F}$ к основанию $EK$, составляет 5 клеток. Таким образом, размеры полученного прямоугольника будут 8 клеток на 5 клеток. Его площадь равна:

$S_{прям} = 8 \times 5 = 40$ клеток.

Площадь треугольника, вписанного в прямоугольник таким образом, равна половине площади этого прямоугольника. Следовательно, площадь треугольника $EFK$ в клетках равна:

$S_{EFK} = \frac{1}{2} \times S_{прям} = \frac{1}{2} \times 40 = 20$ клеток.

Этот же результат можно получить, используя формулу площади треугольника: основание $a=8$ клеток, высота $h=5$ клеток.

$S_{EFK} = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20$ клеток.

Теперь переведем площадь в квадратные сантиметры:

$S_{EFK} = 20 \times \frac{1}{4} \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2$.

Ответ: 5 см².