Номер 4, страница 84, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

4. Каково соотношение между множествами целых чисел и рациональных чисел?

Соотношение между множествами целых чисел ($ \mathbb{Z} $) и рациональных чисел ($ \mathbb{Q} $) можно рассматривать с двух основных точек зрения: вложенности множеств и их мощности (размера).

1. Соотношение с точки зрения вложенности

Множество целых чисел, обозначаемое как $ \mathbb{Z} $, включает в себя натуральные числа (1, 2, 3, ...), им противоположные (-1, -2, -3, ...) и ноль.

$ \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} $

Множество рациональных чисел, обозначаемое как $ \mathbb{Q} $, состоит из всех чисел, которые можно представить в виде дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p $ — целое число ($ p \in \mathbb{Z} $), а $ q $ — натуральное число ($ q \in \mathbb{N} $, т.е. $ q $ — целое и $ q > 0 $).

Любое целое число $ z $ можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $ z = \frac{z}{1} $. Например, $ 5 = \frac{5}{1} $, $ -12 = \frac{-12}{1} $, $ 0 = \frac{0}{1} $. Поскольку в этой записи числитель $ z $ является целым числом, а знаменатель 1 — натуральным, то любое целое число по определению является и рациональным числом.

Таким образом, множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел. Это записывается как $ \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} $.

Более того, это строгое вложение, так как существуют рациональные числа, которые не являются целыми. Например, числа $ \frac{1}{2} $, $ -\frac{3}{4} $, $ 0.7 $ (что равно $ \frac{7}{10} $) являются рациональными, но не целыми. Следовательно, множество целых чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел. Математически это обозначается как $ \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} $.

Ответ: Множество целых чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел ($ \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} $).

2. Соотношение с точки зрения мощности (размера)

Мощность множества — это характеристика, описывающая количество его элементов. Для бесконечных множеств это понятие более сложное, чем для конечных. Множества, элементы которых можно "пересчитать", то есть установить взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел $ \mathbb{N} $, называются счётными. Мощность счётного множества обозначается как $ \aleph_0 $ ("алеф-ноль").

Множество целых чисел $ \mathbb{Z} $ является счётным. Его элементы можно пронумеровать: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... Таким образом, его мощность равна $ \aleph_0 $: $ |\mathbb{Z}| = \aleph_0 $.

Казалось бы, рациональных чисел "больше", чем целых, поскольку между любыми двумя целыми числами находится бесконечное количество рациональных. Однако, немецкий математик Георг Кантор доказал, что множество рациональных чисел $ \mathbb{Q} $ также является счётным.

Это можно доказать, показав способ пересчитать все рациональные числа. Например, можно расположить все положительные дроби $ \frac{p}{q} $ в виде бесконечной таблицы, а затем обойти её "змейкой" (диагональный метод Кантора), пропуская несократимые дроби, чтобы не считать одно и то же число дважды. Таким образом, все рациональные числа можно выстроить в единую последовательность и пронумеровать.

Из этого следует, что мощность множества рациональных чисел также равна $ \aleph_0 $: $ |\mathbb{Q}| = \aleph_0 $.

Таким образом, несмотря на то что множество целых чисел является строгим подмножеством рациональных, с точки зрения теории множеств они "одинакового размера" — оба являются счётными бесконечными множествами.

Ответ: Множества целых и рациональных чисел равномощны, то есть имеют одинаковую мощность (кардинальность) $ \aleph_0 $. $ |\mathbb{Z}| = |\mathbb{Q}| $.