Номер 2, страница 84, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

2. Каково соотношение между множествами натуральных чисел и целых чисел?

Для описания соотношения между множеством натуральных чисел ($\mathbb{N}$) и множеством целых чисел ($\mathbb{Z}$) необходимо рассмотреть два аспекта: соотношение включения и соотношение мощностей (размеров) этих множеств.

Определения множеств

Множество натуральных чисел ($\mathbb{N}$) — это множество, используемое для счета: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$.

Множество целых чисел ($\mathbb{Z}$) — это множество, включающее все натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль: $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$.

Соотношение включения

Каждый элемент множества натуральных чисел также является элементом множества целых чисел. Это означает, что множество $\mathbb{N}$ является подмножеством множества $\mathbb{Z}$, что записывается как $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$. Поскольку существуют элементы в $\mathbb{Z}$, которые не принадлежат $\mathbb{N}$ (например, 0, -1, -2 и так далее), множество $\mathbb{N}$ является собственным подмножеством множества $\mathbb{Z}$. Это означает, что все натуральные числа являются целыми, но не все целые числа являются натуральными.

Соотношение мощностей

Мощность множества — это характеристика, позволяющая сравнивать множества по количеству элементов, в том числе и бесконечные. Два множества считаются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию).

Несмотря на то что множество натуральных чисел является лишь частью множества целых, их мощности равны. Это контринтуитивное свойство бесконечных множеств. Чтобы доказать это, можно построить функцию, которая каждому натуральному числу ставит в соответствие уникальное целое число, и при этом каждое целое число будет сопоставлено какому-либо натуральному.

Один из способов установить такое соответствие — это "расставить по порядку" все целые числа: $0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots$. Теперь можно сопоставить первое натуральное число (1) первому элементу этого ряда (0), второе натуральное число (2) — второму элементу (1), третье (3) — третьему (-1) и так далее.

Это соответствие можно описать строгой математической формулой для функции $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$:

$f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{если } n \text{ четное} \\ -\frac{n-1}{2}, & \text{если } n \text{ нечетное} \end{cases}$

Например:

$f(1) = -\frac{1-1}{2} = 0$

$f(2) = \frac{2}{2} = 1$

$f(3) = -\frac{3-1}{2} = -1$

$f(4) = \frac{4}{2} = 2$

Так как существует взаимно-однозначное соответствие, множества $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Z}$ равномощны. Множества, равномощные множеству натуральных чисел, называются счётными. Мощность счётных множеств обозначается символом $\aleph_0$ (алеф-ноль).

Таким образом, $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = \aleph_0$.

Ответ: Множество натуральных чисел является собственным подмножеством множества целых чисел ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$), но при этом оба множества имеют одинаковую мощность (они равномощны), то есть являются счётными бесконечными множествами. Их мощность равна $\aleph_0$, что записывается как $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = \aleph_0$.