Номер 1279, страница 268 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 44. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1279, страница 268.

Условие.

1279. На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили ещё по точке, и так поступили несколько раз. Докажите, что после каждой такой операции общее количество точек на прямой будет нечётным.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Пусть $N_k$ — количество точек на прямой после $k$-ой операции. Если на прямой имеется $N_k$ точек, то между ними существует $N_k - 1$ промежутков (между соседними точками). Согласно условию, в каждый из этих промежутков добавляется по одной новой точке. Следовательно, количество точек после следующей, $(k+1)$-ой, операции будет равно: $N_{k+1} = N_k + (N_k - 1) = 2N_k - 1$. Это рекуррентная формула, связывающая количество точек на двух последовательных шагах.

Теперь докажем, что $N_k$ является нечётным числом для любого $k \geq 1$ (то есть после первой и всех последующих операций).

1. База индукции (проверка для первой операции, $k=1$):
Пусть изначально на прямой было $N_0$ точек ($N_0 \geq 2$). После первой операции количество точек станет $N_1 = 2N_0 - 1$. Число $2N_0$ всегда является чётным, так как это произведение целого числа на 2. Разность чётного числа и единицы всегда является нечётным числом. Следовательно, $N_1$ — нечётное число. База индукции верна.

2. Индукционное предположение:
Предположим, что после $k$-ой операции количество точек $N_k$ является нечётным.

3. Индукционный шаг:
Докажем, что если наше предположение верно, то и после $(k+1)$-ой операции количество точек $N_{k+1}$ также будет нечётным. Мы знаем, что $N_{k+1} = 2N_k - 1$. Согласно нашему предположению, $N_k$ — нечётное число. Однако, для доказательства это даже не важно. Произведение любого целого числа $N_k$ на 2, то есть $2N_k$, всегда является чётным числом. Тогда $N_{k+1}$ равно разности чётного числа ($2N_k$) и единицы. Такая разность всегда является нечётным числом. Таким образом, если $N_k$ было нечётным, то $N_{k+1}$ также будет нечётным. Шаг индукции доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, то по принципу математической индукции утверждение верно для любой операции. После каждой операции общее количество точек на прямой будет нечётным.

Ответ: Утверждение доказано. После каждой операции добавления точек между соседними существующими, общее количество точек на прямой становится нечётным. Это следует из того, что если на прямой $N$ точек, то после операции их станет $2N - 1$, а это число всегда нечётное для любого целого $N \geq 2$.