Номер 1273, страница 268 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 44. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1273, страница 268.

Условие.

1273. Два мальчика по очереди кладут одинаковые монетки на круглый стол так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из двух игроков может обеспечить себе выигрыш и как это сделать?

Решение.

Решение 2.

Данная задача является классическим примером игры с использованием стратегии, основанной на симметрии. Выиграть может тот игрок, который сможет эту симметрию использовать в свою пользу.

Кто из двух игроков может обеспечить себе выигрыш

Обеспечить себе выигрыш может первый игрок. Для него существует гарантированная выигрышная стратегия, которая не зависит от действий второго игрока (при условии, что второй игрок не может нарушить правила).

Ответ: Первый игрок.

Как это сделать

Выигрышная стратегия для первого игрока заключается в использовании центральной симметрии круглого стола. Алгоритм действий следующий:

1. Первый ход: Первый игрок должен положить свою первую монетку точно в центр круглого стола. Этот ход является ключевым, так как он "захватывает" центр симметрии.
2. Последующие ходы: На каждый ход второго игрока первый игрок должен отвечать симметричным ходом. Если второй игрок кладет монетку в некоторую точку $P$ на столе, то первый игрок должен положить свою монетку в точку $P'$, которая является центрально-симметричной точке $P$ относительно центра стола.

Обоснование, почему эта стратегия работает:

• Разместив первую монету в центре, первый игрок гарантирует, что для любой точки на столе, где второй игрок может положить монету, существует симметричная ей точка относительно центра.
• Если второй игрок смог сделать ход и положить монету в точку $P$, это означает, что место в точке $P$ было свободно. Так как все предыдущие ходы первого игрока (кроме самого первого) были симметричны ходам второго, то и симметричная точка $P'$ обязательно будет свободна. Если бы точка $P'$ была занята, то это означало бы, что симметричная ей точка $P$ тоже была бы уже занята (согласно стратегии), и второй игрок не смог бы сделать туда ход.
• Таким образом, на любой ход второго игрока у первого всегда есть гарантированный ответный ход.
• Поскольку стол имеет конечные размеры, количество монет, которые можно на него положить, ограничено. Игра обязательно закончится.
• Так как у первого игрока всегда есть ответ на ход второго, то именно второй игрок первым окажется в ситуации, когда свободных мест для хода не останется. По правилам, он проиграет.

Ответ: Своим первым ходом он должен положить монетку в центр стола, а каждым следующим ходом класть монетку в место, симметричное тому, куда только что положил монетку второй игрок, относительно центра стола.