Номер 1267, страница 267 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 44. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1267, страница 267.

Условие.

1267.Перерисуйте рисунок 159 в тетрадь и постройте фигуру, симметричную треугольнику $ABC$:

1) относительно точки $O$;

2) относительно точки $D$.

Рис. 159

Решение.

Решение 2.

Для построения фигуры, симметричной треугольнику $ABC$ относительно некоторой точки (центра симметрии), необходимо построить точки, симметричные каждой из вершин треугольника ($A$, $B$ и $C$) относительно этого центра, а затем соединить полученные точки отрезками.

Точка $P'$ называется симметричной точке $P$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $PP'$. Если заданы координаты точки $P(x_P, y_P)$ и центра симметрии $O(x_O, y_O)$, то координаты симметричной точки $P'(x', y')$ находятся по формулам:

$x' = 2x_O - x_P$

$y' = 2y_O - y_P$

Чтобы выполнить построение, введем систему координат, совместив ее начало с левым нижним углом сетки на рисунке. Примем сторону одной клетки за единицу. В этой системе координат вершины треугольника и заданные точки имеют следующие координаты:

• $A(0, 1)$
• $B(6, 5)$
• $C(5, 1)$
• $O(3, 2)$
• $D(6, 3)$

1) относительно точки O

Найдем координаты вершин треугольника $A'B'C'$, симметричного треугольнику $ABC$ относительно точки $O(3, 2)$.

• Для вершины $A(0, 1)$ симметричной будет точка $A'$ с координатами:
  $x_{A'} = 2 \cdot 3 - 0 = 6$
  $y_{A'} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
  Получаем точку $A'(6, 3)$.
• Для вершины $B(6, 5)$ симметричной будет точка $B'$ с координатами:
  $x_{B'} = 2 \cdot 3 - 6 = 0$
  $y_{B'} = 2 \cdot 2 - 5 = -1$
  Получаем точку $B'(0, -1)$.
• Для вершины $C(5, 1)$ симметричной будет точка $C'$ с координатами:
  $x_{C'} = 2 \cdot 3 - 5 = 1$
  $y_{C'} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
  Получаем точку $C'(1, 3)$.

Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$, получим искомый треугольник $A'B'C'$.

Ответ: Фигура, симметричная треугольнику $ABC$ относительно точки $O$ — это треугольник $A'B'C'$ с вершинами в точках $A'(6, 3)$, $B'(0, -1)$ и $C'(1, 3)$.

2) относительно точки D

Найдем координаты вершин треугольника $A''B''C''$, симметричного треугольнику $ABC$ относительно точки $D(6, 3)$.

• Для вершины $A(0, 1)$ симметричной будет точка $A''$ с координатами:
  $x_{A''} = 2 \cdot 6 - 0 = 12$
  $y_{A''} = 2 \cdot 3 - 1 = 5$
  Получаем точку $A''(12, 5)$.
• Для вершины $B(6, 5)$ симметричной будет точка $B''$ с координатами:
  $x_{B''} = 2 \cdot 6 - 6 = 6$
  $y_{B''} = 2 \cdot 3 - 5 = 1$
  Получаем точку $B''(6, 1)$.
• Для вершины $C(5, 1)$ симметричной будет точка $C''$ с координатами:
  $x_{C''} = 2 \cdot 6 - 5 = 7$
  $y_{C''} = 2 \cdot 3 - 1 = 5$
  Получаем точку $C''(7, 5)$.

Соединив точки $A''$, $B''$ и $C''$, получим искомый треугольник $A''B''C''$.

Ответ: Фигура, симметричная треугольнику $ABC$ относительно точки $D$ — это треугольник $A''B''C''$ с вершинами в точках $A''(12, 5)$, $B''(6, 1)$ и $C''(7, 5)$.