Номер 1270, страница 267 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 44. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1270, страница 267.

Условие.

1270. На рисунке 160 изображены сторона $AB$ и центр симметрии $O$ четырёхугольника $ABCD$. Перерисуйте рисунок в тетрадь и постройте четырёхугольник $ABCD$.

Рис. 160

Решение.

Решение 2.

Для построения четырёхугольника $ABCD$, который имеет центр симметрии в точке $O$, необходимо найти недостающие вершины $C$ и $D$. По определению центральной симметрии, центр симметрии $O$ является серединой отрезков, соединяющих симметричные точки. Это означает, что вершина $C$ симметрична вершине $A$ относительно $O$, а вершина $D$ симметрична вершине $B$ относительно $O$. Следовательно, точка $O$ — это точка пересечения и середина диагоналей $AC$ и $BD$.

Построение вершины C

Чтобы найти вершину $C$, симметричную вершине $A$ относительно точки $O$, нужно провести луч $AO$ и отложить на нём за точкой $O$ отрезок $OC$, равный отрезку $AO$.

Для точности воспользуемся координатным методом. Введем систему координат, приняв левый нижний узел сетки за начало координат $(0, 0)$. Тогда координаты заданных точек будут: $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ и $O(4, 3)$.

Так как $O$ — середина $AC$, координаты точки $C(x_C, y_C)$ можно найти по формулам:

$x_C = 2x_O - x_A = 2 \cdot 4 - 1 = 7$

$y_C = 2y_O - y_A = 2 \cdot 3 - 2 = 4$

Координаты вершины $C$ равны $(7, 4)$.

Построение вершины D

Аналогично, чтобы найти вершину $D$, симметричную вершине $B$ относительно точки $O$, нужно провести луч $BO$ и отложить на нём за точкой $O$ отрезок $OD$, равный отрезку $BO$.

Так как $O$ — середина $BD$, координаты точки $D(x_D, y_D)$ можно найти по формулам:

$x_D = 2x_O - x_B = 2 \cdot 4 - 3 = 5$

$y_D = 2y_O - y_B = 2 \cdot 3 - 4 = 2$

Координаты вершины $D$ равны $(5, 2)$.

Построение четырёхугольника ABCD

Теперь, имея все четыре вершины $A(1, 2)$, $B(3, 4)$, $C(7, 4)$ и $D(5, 2)$, мы можем построить искомый четырёхугольник, последовательно соединив их отрезками: $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

На рисунке ниже показан результат построения. Пунктирными линиями обозначены диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в центре симметрии $O$.

Полученная фигура $ABCD$ является параллелограммом, так как её диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам.

Ответ: Чтобы построить четырёхугольник $ABCD$, необходимо найти точки $C$ и $D$, симметричные точкам $A$ и $B$ относительно центра $O$, и соединить последовательно все четыре вершины. Координаты вершин: $A(1, 2)$, $B(3, 4)$, $C(7, 4)$, $D(5, 2)$. Итоговый чертёж представлен на рисунке выше.