Номер 1263, страница 266 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1263. На рисунке 155 изображены сторона $AB$ и ось симметрии $l$ треугольника $ABC$. Перерисуйте рисунок в тетрадь и постройте треугольник $ABC$. Определите вид треугольника $ABC$.

Рис. 155

Для решения задачи воспользуемся свойством осевой симметрии. Если прямая $l$ является осью симметрии треугольника $ABC$, то одна из вершин треугольника должна лежать на этой оси, а две другие должны быть симметричны относительно нее. На рисунке видно, что ни точка $A$, ни точка $B$ точно не лежат на оси $l$. Однако точка $B$ расположена очень близко к оси. Наиболее вероятным является предположение, что на чертеже допущена небольшая неточность, и вершина $B$ в действительности лежит на оси симметрии $l$. В этом случае третья вершина $C$ должна быть симметрична вершине $A$ относительно прямой $l$.

Построение треугольника ABC

1. Принимаем, что вершина $B$ лежит на оси симметрии $l$. Вершина $A$ не лежит на оси $l$, следовательно, симметричная ей точка относительно оси $l$ является третьей вершиной треугольника — точкой $C$.

2. Чтобы построить точку $C$, симметричную точке $A$ относительно прямой $l$, нужно выполнить следующие действия:

• Провести через точку $A$ прямую, перпендикулярную оси $l$.
• Измерить расстояние от точки $A$ до точки пересечения этой прямой с осью $l$.
• Отложить такое же расстояние на перпендикулярной прямой по другую сторону от оси $l$. Полученная точка и будет вершиной $C$.

3. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, мы получим искомый треугольник $ABC$.

Ответ: Треугольник $ABC$ строится путем нахождения вершины $C$, симметричной вершине $A$ относительно оси $l$, при условии, что вершина $B$ лежит на этой оси.

Определение вида треугольника ABC

1. Поскольку треугольник $ABC$ имеет ось симметрии $l$, проходящую через вершину $B$, он является равнобедренным. Стороны $AB$ и $CB$ симметричны друг другу, а значит, равны: $AB = CB$.

2. Для более точного определения вида треугольника воспользуемся сеткой на рисунке, приняв сторону одной клетки за единицу. Введем систему координат так, чтобы ось $l$ была прямой $x=0$.

• Из рисунка видно, что точка $B$ отстоит от оси $l$ на 1 клетку влево, а точка $A$ — на 3 клетки влево. Их координаты по вертикали — 5 и 2 единицы от некоторого условного нуля.
• С учетом нашего предположения, что $B$ лежит на оси $l$, ее координаты будут $B(0; 5)$. Координаты точки $A$ будут $A(-3; 2)$.
• Найдем координаты точки $C$, симметричной $A(-3; 2)$ относительно оси $l$ (оси $y$). Координата $y$ останется той же, а координата $x$ изменит знак: $C(3; 2)$.

3. Теперь найдем длины сторон треугольника с вершинами $A(-3; 2)$, $B(0; 5)$, $C(3; 2)$ по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:

$AB = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$

$CB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$

$AC = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$

4. Мы видим, что $AB = CB = \sqrt{18}$, что подтверждает, что треугольник равнобедренный.

5. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора. Сравним квадрат большей стороны $AC$ с суммой квадратов двух других сторон:

$AC^2 = 6^2 = 36$

$AB^2 + CB^2 = (\sqrt{18})^2 + (\sqrt{18})^2 = 18 + 18 = 36$

Поскольку $AB^2 + CB^2 = AC^2$, по обратной теореме Пифагора, треугольник $ABC$ является прямоугольным. Угол, лежащий напротив гипотенузы $AC$, то есть $\angle ABC$, является прямым ($\angle ABC = 90^\circ$).

Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный и прямоугольный.

Ответ: Треугольник $ABC$ — равнобедренный прямоугольный.