Номер 1263, страница 266 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 44. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1263, страница 266.

Условие.

1263. На рисунке 155 изображены сторона $AB$ и ось симметрии $l$ треугольника $ABC$. Перерисуйте рисунок в тетрадь и постройте треугольник $ABC$. Определите вид треугольника $ABC$.

Рис. 155

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи воспользуемся свойством осевой симметрии. Если прямая `l` является осью симметрии треугольника `ABC`, то одна из вершин треугольника должна лежать на этой оси, а две другие должны быть симметричны относительно нее. На рисунке видно, что ни точка `A`, ни точка `B` точно не лежат на оси `l`. Однако точка `B` расположена очень близко к оси. Наиболее вероятным является предположение, что на чертеже допущена небольшая неточность, и вершина `B` в действительности лежит на оси симметрии `l`. В этом случае третья вершина `C` должна быть симметрична вершине `A` относительно прямой `l`.

Построение треугольника ABC

1. Принимаем, что вершина `B` лежит на оси симметрии `l`. Вершина `A` не лежит на оси `l`, следовательно, симметричная ей точка относительно оси `l` является третьей вершиной треугольника — точкой `C`.

2. Чтобы построить точку `C`, симметричную точке `A` относительно прямой `l`, нужно выполнить следующие действия:

• Провести через точку `A` прямую, перпендикулярную оси `l`.
• Измерить расстояние от точки `A` до точки пересечения этой прямой с осью `l`.
• Отложить такое же расстояние на перпендикулярной прямой по другую сторону от оси `l`. Полученная точка и будет вершиной `C`.

3. Соединив точки `A`, `B` и `C`, мы получим искомый треугольник `ABC`.

Ответ: Треугольник `ABC` строится путем нахождения вершины `C`, симметричной вершине `A` относительно оси `l`, при условии, что вершина `B` лежит на этой оси.

Определение вида треугольника ABC

1. Поскольку треугольник `ABC` имеет ось симметрии `l`, проходящую через вершину `B`, он является равнобедренным. Стороны `AB` и `CB` симметричны друг другу, а значит, равны: $AB = CB$.

2. Для более точного определения вида треугольника воспользуемся сеткой на рисунке, приняв сторону одной клетки за единицу. Введем систему координат так, чтобы ось `l` была прямой $x=0$.

• Из рисунка видно, что точка `B` отстоит от оси `l` на 1 клетку влево, а точка `A` — на 3 клетки влево. Их координаты по вертикали — 5 и 2 единицы от некоторого условного нуля.
• С учетом нашего предположения, что `B` лежит на оси `l`, ее координаты будут `B(0; 5)`. Координаты точки `A` будут `A(-3; 2)`.
• Найдем координаты точки `C`, симметричной `A(-3; 2)` относительно оси $l$ (оси `y`). Координата `y` останется той же, а координата `x` изменит знак: `C(3; 2)`.

3. Теперь найдем длины сторон треугольника с вершинами `A(-3; 2)`, `B(0; 5)`, `C(3; 2)` по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:

$AB = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$

$CB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$

$AC = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$

4. Мы видим, что $AB = CB = \sqrt{18}$, что подтверждает, что треугольник равнобедренный.

5. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора. Сравним квадрат большей стороны `AC` с суммой квадратов двух других сторон:

$AC^2 = 6^2 = 36$

$AB^2 + CB^2 = (\sqrt{18})^2 + (\sqrt{18})^2 = 18 + 18 = 36$

Поскольку $AB^2 + CB^2 = AC^2$, по обратной теореме Пифагора, треугольник `ABC` является прямоугольным. Угол, лежащий напротив гипотенузы `AC`, то есть $\angle ABC$, является прямым ($\angle ABC = 90^\circ$).

Таким образом, треугольник `ABC` — равнобедренный и прямоугольный.

Ответ: Треугольник `ABC` — равнобедренный прямоугольный.