Номер 1256, страница 265 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 44. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1256, страница 265.

Условие.

1256. Начертите отрезок $BD$ и отметьте точку $A$ вне этого отрезка. Постройте отрезок, симметричный отрезку $BD$ относительно точки $A$. Сравните полученный отрезок и отрезок $BD$.

Решение.

Решение 2.

Начертите отрезок BD и отметьте точку A вне этого отрезка. Постройте отрезок, симметричный отрезку BD относительно точки A.

Сначала начертим на плоскости произвольный отрезок $BD$ и точку $A$, не лежащую на этом отрезке. Чтобы построить отрезок, симметричный отрезку $BD$ относительно центра симметрии $A$, необходимо построить точки $B'$ и $D'$, симметричные соответственно точкам $B$ и $D$ относительно точки $A$. Для построения точки $B'$, симметричной точке $B$, проведем луч из точки $B$ через точку $A$. На продолжении этого луча за точку $A$ отложим отрезок $AB'$, равный по длине отрезку $AB$. Таким образом, точка $A$ будет являться серединой отрезка $BB'$. Аналогично, для построения точки $D'$, симметричной точке $D$, проведем луч из точки $D$ через точку $A$ и на его продолжении отложим отрезок $AD'$, равный отрезку $AD$. Точка $A$ будет серединой отрезка $DD'$. Соединив точки $B'$ и $D'$, получим отрезок $B'D'$, который и является искомым.

Сравните полученный отрезок и отрезок BD.

Для сравнения отрезков $BD$ и $B'D'$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle AB'D'$. В этих треугольниках сторона $AB$ равна стороне $AB'$ по построению, и сторона $AD$ равна стороне $AD'$ также по построению. Угол $\angle BAD$ равен углу $\angle B'AD'$, так как они являются вертикальными. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD \cong \triangle AB'D'$.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. Во-первых, сторона $BD$ равна стороне $B'D'$, что означает, что длины отрезков равны. Во-вторых, угол $\angle ADB$ равен углу $\angle AD'B'$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых, содержащих отрезки $BD$ и $B'D'$, и секущей $DD'$. Так как эти углы равны, то прямые параллельны, а значит, и отрезки $BD$ и $B'D'$ параллельны.

Ответ: Полученный отрезок равен исходному отрезку $BD$ по длине и параллелен ему.