Номер 1251, страница 264 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 44. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1251, страница 264.

Условие.

1251. Перерисуйте рисунок 147 в тетрадь и постройте точку, симметричную точку:

1) $A$ относительно точки $B$;

2) $K$ относительно точки $B$;

3) $B$ относительно точки $K$;

4) $M$ относительно точки $B$;

5) $M$ относительно точки $K$;

6) $A$ относительно точки $K$.

Рис. 147

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат, приняв за начало отсчета (точку (0,0)) левый нижний узел сетки на рисунке. Шаг сетки примем за единицу. В этой системе координат данные точки имеют следующие координаты:

• $A(1, 1)$
• $B(3, 3)$
• $K(5, 2)$
• $M(5, 4)$

Точка $P'$ называется симметричной точке $P$ относительно точки $C$ (центра симметрии), если точка $C$ является серединой отрезка $PP'$. Это означает, что точка $P'$ находится на продолжении отрезка $PC$ за точку $C$ на таком же расстоянии, что и точка $P$.

Координаты $(x', y')$ точки, симметричной точке $P(x, y)$ относительно центра $C(x_c, y_c)$, вычисляются по формулам:

$x' = 2x_c - x$

$y' = 2y_c - y$

Применим эти формулы для решения каждого пункта задачи.

1) А относительно точки В

Нужно найти точку $A'$, симметричную точке $A(1, 1)$ относительно точки $B(3, 3)$. Здесь $P=A$ и $C=B$.
Координаты точки $A'$ будут:
$x_{A'} = 2x_B - x_A = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$
$y_{A'} = 2y_B - y_A = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$
Таким образом, искомая точка $A'$ имеет координаты $(5, 5)$.
Ответ: Точка с координатами (5, 5).

2) K относительно точки B

Нужно найти точку $K'$, симметричную точке $K(5, 2)$ относительно точки $B(3, 3)$. Здесь $P=K$ и $C=B$.
Координаты точки $K'$ будут:
$x_{K'} = 2x_B - x_K = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$
$y_{K'} = 2y_B - y_K = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$
Таким образом, искомая точка $K'$ имеет координаты $(1, 4)$.
Ответ: Точка с координатами (1, 4).

3) B относительно точки K

Нужно найти точку $B'$, симметричную точке $B(3, 3)$ относительно точки $K(5, 2)$. Здесь $P=B$ и $C=K$.
Координаты точки $B'$ будут:
$x_{B'} = 2x_K - x_B = 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7$
$y_{B'} = 2y_K - y_B = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$
Таким образом, искомая точка $B'$ имеет координаты $(7, 1)$.
Ответ: Точка с координатами (7, 1).

4) M относительно точки B

Нужно найти точку $M'$, симметричную точке $M(5, 4)$ относительно точки $B(3, 3)$. Здесь $P=M$ и $C=B$.
Координаты точки $M'$ будут:
$x_{M'} = 2x_B - x_M = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$
$y_{M'} = 2y_B - y_M = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$
Таким образом, искомая точка $M'$ имеет координаты $(1, 2)$.
Ответ: Точка с координатами (1, 2).

5) M относительно точки K

Нужно найти точку $M''$, симметричную точке $M(5, 4)$ относительно точки $K(5, 2)$. Здесь $P=M$ и $C=K$.
Координаты точки $M''$ будут:
$x_{M''} = 2x_K - x_M = 2 \cdot 5 - 5 = 10 - 5 = 5$
$y_{M''} = 2y_K - y_M = 2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0$
Таким образом, искомая точка $M''$ имеет координаты $(5, 0)$.
Ответ: Точка с координатами (5, 0).

6) A относительно точки K

Нужно найти точку $A''$, симметричную точке $A(1, 1)$ относительно точки $K(5, 2)$. Здесь $P=A$ и $C=K$.
Координаты точки $A''$ будут:
$x_{A''} = 2x_K - x_A = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$
$y_{A''} = 2y_K - y_A = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$
Таким образом, искомая точка $A''$ имеет координаты $(9, 3)$.
Ответ: Точка с координатами (9, 3).