Номер 1272, страница 268 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 44. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1272, страница 268.

Условие.

1272. Есть две одинаковые полоски в клетку (рис. 162). Два мальчика играют в такую игру: за один ход можно зачеркнуть любое количество клеток, но в одной полоске. Проигрывает тот, кому уже нечего зачеркнуть. Кто из двух игроков может обеспечить себе выигрыш и как это сделать?

Рис. 162

Решение.

Решение 2.

Данная задача является классическим примером игры с симметричной стратегией. Выигрыш в этой игре может обеспечить себе второй игрок.

Стратегия второго игрока заключается в том, чтобы после каждого своего хода оставлять в обеих полосках одинаковое количество незачеркнутых клеток. Поскольку изначально количество клеток в полосках одинаково, второй игрок всегда может поддерживать эту симметрию.

Рассмотрим алгоритм действий:

1. Первый игрок делает свой ход: он выбирает одну из полосок и зачеркивает в ней некоторое количество клеток, пусть это будет $k$ клеток. После этого хода симметрия нарушается: в одной полоске становится на $k$ клеток меньше, чем в другой.

2. Второй игрок своим ответным ходом восстанавливает симметрию. Он выбирает другую полоску (ту, которую не трогал первый игрок) и зачеркивает в ней ровно столько же клеток, то есть $k$. В результате в обеих полосках снова становится одинаковое количество незачеркнутых клеток.

Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока игра не закончится. Поскольку общее количество клеток уменьшается с каждым ходом, игра обязательно завершится.

В конце игры наступит момент, когда первый игрок будет вынужден зачеркнуть все оставшиеся клетки в одной из полосок. Допустим, в каждой полоске осталось по $m$ клеток. Первый игрок зачеркивает все $m$ клеток в первой полоске. В ответ второй игрок зачеркивает все $m$ клеток во второй полоске. В результате на поле не остается ни одной клетки, которую можно было бы зачеркнуть. Ход переходит к первому игроку, но он не может сделать ход, так как зачеркивать больше нечего. По правилам, игрок, который не может сделать ход, проигрывает.

Таким образом, придерживаясь этой "зеркальной" стратегии, второй игрок всегда будет иметь возможность сделать ход в ответ на ход первого и в итоге поставит первого игрока в проигрышную позицию.

Ответ: Выигрыш может обеспечить себе второй игрок. Его стратегия заключается в том, чтобы всегда повторять ход первого игрока, но на другой полоске. Если первый игрок зачеркивает $k$ клеток в одной полоске, второй игрок должен зачеркнуть $k$ клеток в другой.