Номер 698, страница 144 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Деление числа в данном отношении. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 698, страница 144.

Условие.

698. На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают и записывают на этом месте новое число, равное произведению цифр старого числа, увеличенному на 12. Какое число будет написано на доске через час?

Решение.

Решение 2.

Обозначим число на доске в начальный момент времени ($t=0$) как $N_0$, а число через $k$ минут как $N_k$. По условию, начальное число $N_0 = 23$. Каждую минуту число заменяется новым по правилу: произведение цифр старого числа, увеличенное на 12.

Проследим, как будет меняться число на доске:

• В начальный момент: $N_0 = 23$.
• Через 1 минуту: Цифры числа 23 – это 2 и 3. Новое число $N_1 = (2 \times 3) + 12 = 6 + 12 = 18$.
• Через 2 минуты: Цифры числа 18 – это 1 и 8. Новое число $N_2 = (1 \times 8) + 12 = 8 + 12 = 20$.
• Через 3 минуты: Цифры числа 20 – это 2 и 0. Новое число $N_3 = (2 \times 0) + 12 = 0 + 12 = 12$.
• Через 4 минуты: Цифры числа 12 – это 1 и 2. Новое число $N_4 = (1 \times 2) + 12 = 2 + 12 = 14$.
• Через 5 минут: Цифры числа 14 – это 1 и 4. Новое число $N_5 = (1 \times 4) + 12 = 4 + 12 = 16$.
• Через 6 минут: Цифры числа 16 – это 1 и 6. Новое число $N_6 = (1 \times 6) + 12 = 6 + 12 = 18$.

На 6-й минуте мы снова получили число 18, которое уже было на 1-й минуте. Это означает, что последовательность чисел вошла в цикл. Начиная с первой минуты, числа на доске будут повторяться в следующей последовательности: 18, 20, 12, 14, 16. Длина этого цикла составляет 5 чисел.

Нам нужно найти, какое число будет на доске через 1 час, то есть через 60 минут. Так как цикл начинается с первой минуты, нам нужно определить, какое число в цикле будет соответствовать 60-й минуте. Для этого найдём остаток от деления 60 на длину цикла, равную 5:

$60 \div 5 = 12$ с остатком 0.

Остаток 0 означает, что на 60-й минуте будет стоять то же число, что и на каждой минуте, номер которой кратен 5 (5-я, 10-я, 15-я и т.д.). В нашем цикле (18, 20, 12, 14, 16) это пятое по счёту число, то есть 16.

Ответ: 16