Номер 113, страница 18 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Числовые и буквенные выражения. Формулы. Глава 1. Натуральные числа - номер 113, страница 18.

Условие.

113. На чудо-дереве садовник вырастил 85 бананов и 70 апельсинов. Каждый день он срывает два плода, и сразу на дереве вырастает один новый. Если садовник срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если он срывает два разных фрукта, то вырастает банан. Каким окажется последний фрукт на этом дереве?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать, как изменяется количество фруктов каждого вида после действий садовника. Ключевым моментом является поиск инварианта — величины, чье свойство (например, четность) не меняется на протяжении всего процесса.

Рассмотрим, как меняется четность количества бананов на дереве. Пусть $B$ — количество бананов, а $A$ — количество апельсинов.

Возможны три сценария:

• Садовник срывает два банана. В этом случае количество бананов уменьшается на 2 ($B \rightarrow B-2$), а на дереве вырастает один апельсин ($A \rightarrow A+1$). Число бананов изменилось на 2, поэтому его четность не изменилась.
• Садовник срывает два апельсина. В этом случае количество бананов не меняется ($B \rightarrow B$), а на дереве вырастает еще один апельсин ($A \rightarrow A-2+1=A-1$). Четность числа бананов не изменилась.
• Садовник срывает один банан и один апельсин. В этом случае количество бананов сначала уменьшается на 1, но потом вырастает новый банан ($B \rightarrow B-1+1=B$). Количество апельсинов уменьшается на 1 ($A \rightarrow A-1$). Четность числа бананов снова не изменилась.

Мы видим, что ни одно из возможных действий не меняет четность количества бананов. Это и есть наш инвариант.

Изначально на дереве было 85 бананов. Число $85$ — нечетное. Следовательно, количество бананов на дереве будет оставаться нечетным на каждом шаге, до самого конца.

Каждый день садовник срывает два плода, а вырастает один, то есть общее количество фруктов уменьшается на один. Изначально было $85 + 70 = 155$ фруктов. Процесс закончится, когда на дереве останется только один фрукт.

Этот последний фрукт должен быть либо бананом, либо апельсином. Рассуждаем:

• Если бы последним фруктом был апельсин, то количество бананов на дереве стало бы равно $0$. Но $0$ — это четное число, что противоречит нашему выводу о том, что количество бананов всегда нечетно.
• Если последним фруктом будет банан, то их количество будет равно $1$. Число $1$ — нечетное, что полностью соответствует нашему инварианту.

Таким образом, единственно возможный вариант — это когда на дереве останется один банан.
Ответ: последним фруктом на дереве окажется банан.