Страница 5 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

9. Решите уравнение:

а) $x + \frac{5}{13} = \frac{7}{13}$

$x = \frac{7}{13} - \frac{5}{13}$

$x = \frac{\underline{\hspace{2em}}}{13}$

б) $y - \frac{18}{23} = \frac{5}{23}$

$y = \underline{\hspace{2em}}$

$y = \underline{\hspace{2em}}$

в) $\frac{14}{19} - x = \frac{8}{19}$

$x = \underline{\hspace{2em}}$

$x = \underline{\hspace{2em}}$

г) $\frac{x}{15} = 5$

$x : 15 = 5$

$x = 5 \cdot 15$

$x = \underline{\hspace{2em}}$

д) $\frac{120}{y} = 30$

$y = \underline{\hspace{2em}}$

$y = \underline{\hspace{2em}}$

е) $\frac{320}{8+x} = 4$

$320 : (8 + x) = 4$

$8 + x = \underline{\hspace{2em}}$

$8 + x = \underline{\hspace{2em}}$

$x = \underline{\hspace{2em}}$

$x = \underline{\hspace{2em}}$

а) $x + \frac{5}{13} = \frac{7}{13}$

В данном уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы $(\frac{7}{13})$ вычесть известное слагаемое $(\frac{5}{13})$.

$x = \frac{7}{13} - \frac{5}{13}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители:

$x = \frac{7 - 5}{13}$

$x = \frac{2}{13}$

Ответ: $\frac{2}{13}$

б) $y - \frac{18}{23} = \frac{5}{23}$

В данном уравнении $y$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности $(\frac{5}{23})$ прибавить вычитаемое $(\frac{18}{23})$.

$y = \frac{5}{23} + \frac{18}{23}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, складываем числители:

$y = \frac{5 + 18}{23}$

$y = \frac{23}{23}$

$y = 1$

Ответ: $1$

в) $\frac{14}{19} - x = \frac{8}{19}$

В данном уравнении $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого $(\frac{14}{19})$ вычесть разность $(\frac{8}{19})$.

$x = \frac{14}{19} - \frac{8}{19}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители:

$x = \frac{14 - 8}{19}$

$x = \frac{6}{19}$

Ответ: $\frac{6}{19}$

г) $\frac{x}{15} = 5$

В данном уравнении $x$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное $(5)$ умножить на делитель $(15)$.

$x = 5 \cdot 15$

$x = 75$

Ответ: $75$

д) $\frac{120}{y} = 30$

В данном уравнении $y$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое $(120)$ разделить на частное $(30)$.

$y = \frac{120}{30}$

$y = 4$

Ответ: $4$

е) $\frac{320}{8 + x} = 4$

В данном уравнении выражение $(8+x)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое $(320)$ разделить на частное $(4)$.

$8 + x = \frac{320}{4}$

$8 + x = 80$

Теперь мы получили более простое уравнение, где $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы $(80)$ вычесть известное слагаемое $(8)$.

$x = 80 - 8$

$x = 72$

Ответ: $72$

10. Представьте в виде смешанного числа дробь:

a) $\frac{76}{5}$; 76 : 5 = ___ (ост. 1), поэтому $\frac{76}{5}$ = ___ $\frac{1}{5}$,

б) $\frac{83}{16}$; 83 : 16 = ___ (ост. ___), поэтому $\frac{83}{16}$ = ___.

а) Чтобы представить неправильную дробь $ \frac{76}{5} $ в виде смешанного числа, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Целая часть результата деления станет целой частью смешанного числа, остаток от деления — числителем дробной части, а знаменатель останется без изменений.

Выполним деление 76 на 5:

$ 76 \div 5 = 15 $ (остаток $ 1 $)

Проверка: $ 15 \times 5 + 1 = 75 + 1 = 76 $.

Следовательно, неполное частное равно 15, а остаток равен 1. Записываем смешанное число:

$ \frac{76}{5} = 15\frac{1}{5} $

Заполненная строка из задания выглядит так: $ 76 : 5 = 15 $ (ост. 1), поэтому $ \frac{76}{5} = 15\frac{1}{5} $.

Ответ: $ 15\frac{1}{5} $.

б) Аналогично представим в виде смешанного числа дробь $ \frac{83}{16} $. Для этого разделим числитель 83 на знаменатель 16 с остатком.

Выполним деление 83 на 16:

$ 83 \div 16 = 5 $ (остаток $ 3 $)

Проверка: $ 5 \times 16 + 3 = 80 + 3 = 83 $.

Следовательно, неполное частное равно 5, а остаток равен 3. Записываем смешанное число:

$ \frac{83}{16} = 5\frac{3}{16} $

Заполненная строка из задания выглядит так: $ 83 : 16 = 5 $ (ост. $ 3 $), поэтому $ \frac{83}{16} = 5\frac{3}{16} $.

Ответ: $ 5\frac{3}{16} $.

11. Представьте смешанное число в виде неправильной дроби:

а) $5\frac{6}{7} = \frac{7 \cdot 5 + 6}{7} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ ;$

б) $8\frac{5}{9} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ .$

а) Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, необходимо целую часть умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним. Следуя этому правилу, выполним вычисления:

$5\frac{6}{7} = \frac{7 \cdot 5 + 6}{7} = \frac{35 + 6}{7} = \frac{41}{7}$

Ответ: $\frac{41}{7}$

б) Применим то же правило для второго смешанного числа. Умножим целую часть (8) на знаменатель (9) и прибавим к результату числитель (5):

$8\frac{5}{9} = \frac{9 \cdot 8 + 5}{9} = \frac{72 + 5}{9} = \frac{77}{9}$

Ответ: $\frac{77}{9}$

12. Выполните действия:

а) $1\frac{9}{11} + 2\frac{3}{11} = (1+2) + (\frac{9}{11} + \frac{3}{11}) = \underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}} + 1\frac{1}{11} = \underline{\hspace{2em}} ;$

б) $3\frac{2}{9} + 1\frac{7}{9} = \underline{\hspace{2em}} ;$

в) $4\frac{1}{3} - 2\frac{2}{3} = \frac{13}{3} - \underline{\hspace{2em}} = \frac{13 - \underline{\hspace{2em}}}{3} = \frac{\underline{\hspace{2em}}}{3} = 1\frac{\underline{\hspace{1em}}}{3} ;$

г) $26\frac{2}{5} - 17\frac{3}{5} = 25\frac{5+2}{5} - 17\frac{3}{5} = (25-17) + (\frac{7}{5} - \frac{3}{5}) = \underline{\hspace{2em}} ;$

д) $8\frac{2}{7} - 3\frac{4}{7} = \underline{\hspace{2em}} ;$

а) Чтобы сложить смешанные числа, нужно отдельно сложить их целые части и отдельно — дробные.

$1\frac{9}{11} + 2\frac{3}{11} = (1 + 2) + (\frac{9}{11} + \frac{3}{11})$

Складываем целые части: $1 + 2 = 3$.

Складываем дробные части: $\frac{9}{11} + \frac{3}{11} = \frac{9+3}{11} = \frac{12}{11}$.

Дробь $\frac{12}{11}$ — неправильная, так как числитель больше знаменателя. Выделим из нее целую часть: $\frac{12}{11} = \frac{11+1}{11} = \frac{11}{11} + \frac{1}{11} = 1\frac{1}{11}$.

Теперь сложим результат сложения целых частей и преобразованную дробную часть: $3 + 1\frac{1}{11} = 4\frac{1}{11}$.

Ответ: $4\frac{1}{11}$.

б) Складываем целые и дробные части по отдельности.

$3\frac{2}{9} + 1\frac{7}{9} = (3 + 1) + (\frac{2}{9} + \frac{7}{9})$

Складываем целые части: $3 + 1 = 4$.

Складываем дробные части: $\frac{2}{9} + \frac{7}{9} = \frac{2+7}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Складываем полученные результаты: $4 + 1 = 5$.

Ответ: $5$.

в) При вычитании смешанных чисел мы сталкиваемся с ситуацией, когда дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{3}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{2}{3}$). В этом случае нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого.

$4\frac{1}{3} = 3 + 1 + \frac{1}{3} = 3 + \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = 3\frac{4}{3}$

Теперь выполняем вычитание:

$3\frac{4}{3} - 2\frac{2}{3} = (3 - 2) + (\frac{4}{3} - \frac{2}{3}) = 1 + \frac{2}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Другой способ — это превратить смешанные числа в неправильные дроби, а затем выполнить вычитание:

$4\frac{1}{3} = \frac{4 \times 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

$\frac{13}{3} - \frac{8}{3} = \frac{13-8}{3} = \frac{5}{3}$

Преобразуем результат обратно в смешанное число: $\frac{5}{3} = \frac{3+2}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Ответ: $1\frac{2}{3}$.

г) Дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{5}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{5}$). Займем единицу у целой части уменьшаемого (26).

$26\frac{2}{5} = 25 + 1 + \frac{2}{5} = 25 + \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = 25\frac{7}{5}$

Теперь вычитаем целые и дробные части по отдельности:

$25\frac{7}{5} - 17\frac{3}{5} = (25 - 17) + (\frac{7}{5} - \frac{3}{5})$

Вычитаем целые части: $25 - 17 = 8$.

Вычитаем дробные части: $\frac{7}{5} - \frac{3}{5} = \frac{7-3}{5} = \frac{4}{5}$.

Объединяем результат: $8 + \frac{4}{5} = 8\frac{4}{5}$.

Ответ: $8\frac{4}{5}$.

д) Дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{4}{7}$). Займем единицу у целой части уменьшаемого (8).

$8\frac{2}{7} = 7 + 1 + \frac{2}{7} = 7 + \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = 7\frac{9}{7}$

Теперь выполняем вычитание:

$7\frac{9}{7} - 3\frac{4}{7} = (7-3) + (\frac{9}{7} - \frac{4}{7})$

Вычитаем целые части: $7 - 3 = 4$.

Вычитаем дробные части: $\frac{9-4}{7} = \frac{5}{7}$.

Объединяем результат: $4 + \frac{5}{7} = 4\frac{5}{7}$.

Ответ: $4\frac{5}{7}$.