Страница 6 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

13. Запишите четыре дроби, равные $\frac{2}{11}$:

$\frac{2}{11} (2 = \frac{4}{\underline{\quad}}$;

$\frac{2}{11} (5 = \frac{\underline{\quad}}{55}$;

$\frac{2}{11} ( = \frac{\underline{\quad}}{33}$;

$\frac{2}{11} ( = \frac{\underline{\quad}}{\underline{\quad}}$.

Для того чтобы найти дробь, равную данной, необходимо умножить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Это основное свойство дроби. В задании требуется найти четыре дроби, равные $\frac{2}{11}$.

Первая дробь

В выражении $\frac{2}{11} = \frac{4}{...}$ числитель исходной дроби (2) умножили на 2, чтобы получить 4. Следовательно, знаменатель (11) также необходимо умножить на 2.

$11 \cdot 2 = 22$

Таким образом, первая искомая дробь — это $\frac{4}{22}$.

Ответ: $\frac{4}{22}$

Вторая дробь

В выражении $\frac{2}{11} = \frac{...}{55}$ знаменатель исходной дроби (11) умножили на 5, чтобы получить 55. Следовательно, числитель (2) также необходимо умножить на 5.

$2 \cdot 5 = 10$

Таким образом, вторая искомая дробь — это $\frac{10}{55}$.

Ответ: $\frac{10}{55}$

Третья дробь

В выражении $\frac{2}{11} = \frac{...}{33}$ необходимо найти множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный: $33 \div 11 = 3$. Теперь умножим исходный числитель (2) на этот множитель.

$2 \cdot 3 = 6$

Таким образом, третья искомая дробь — это $\frac{6}{33}$.

Ответ: $\frac{6}{33}$

Четвертая дробь

Для нахождения четвертой дроби выберем произвольное натуральное число (например, 4) и умножим на него числитель и знаменатель исходной дроби.

$2 \cdot 4 = 8$

$11 \cdot 4 = 44$

Таким образом, четвертая искомая дробь — это $\frac{8}{44}$. (В качестве множителя можно было выбрать любое другое натуральное число, например, 6, и получить дробь $\frac{12}{66}$).

Ответ: $\frac{8}{44}$

14. Сократите обыкновенную дробь:

a) $ \frac{25}{45} = \frac{\cancelto{1}{5} \cdot 5}{\cancelto{1}{5} \cdot 9} = \text{\rule{2cm}{0.4pt}} $ ;

б) $ \frac{18}{84} = \text{\rule{2cm}{0.4pt}} = \text{\rule{2cm}{0.4pt}} $ ;

в) $ \frac{56}{42} = \text{\rule{2cm}{0.4pt}} $ .

а) Чтобы сократить дробь $\frac{25}{45}$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя и разделить их на него. Разложим числитель (25) и знаменатель (45) на простые множители:

$25 = 5 \cdot 5$

$45 = 9 \cdot 5 = 3 \cdot 3 \cdot 5$

Общим множителем является 5, это и есть их НОД. Теперь разделим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{25}{45} = \frac{25 \div 5}{45 \div 5} = \frac{5}{9}$

Этот же процесс показан в примере на изображении, где общий множитель 5 сокращается:

$\frac{25}{45} = \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{18}{84}$, найдем НОД для 18 и 84. Разложим оба числа на простые множители:

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3$

$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$

Общие множители в разложении — это 2 и 3. Значит, НОД(18, 84) = $2 \cdot 3 = 6$.

Разделим числитель и знаменатель на 6:

$\frac{18}{84} = \frac{18 \div 6}{84 \div 6} = \frac{3}{14}$

Также можно сокращать дробь поэтапно. Сначала на 2 (так как оба числа четные), а затем на 3:

$\frac{18}{84} = \frac{18 \div 2}{84 \div 2} = \frac{9}{42} = \frac{9 \div 3}{42 \div 3} = \frac{3}{14}$

Ответ: $\frac{3}{14}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{56}{42}$, найдем НОД для 56 и 42. Разложим числа на простые множители:

$56 = 8 \cdot 7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$

$42 = 6 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Общие множители в разложении — это 2 и 7. Значит, НОД(56, 42) = $2 \cdot 7 = 14$.

Разделим числитель и знаменатель на 14:

$\frac{56}{42} = \frac{56 \div 14}{42 \div 14} = \frac{4}{3}$

Поэтапное сокращение выглядит так: сначала на 2, а затем на 7:

$\frac{56}{42} = \frac{56 \div 2}{42 \div 2} = \frac{28}{21} = \frac{28 \div 7}{21 \div 7} = \frac{4}{3}$

Дробь $\frac{4}{3}$ является несократимой. Её также можно записать в виде смешанного числа $1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

15. Выполните действия:

а) $ \frac{20}{33} \cdot \frac{44}{35} = \frac{\cancel{20}^{\text{4}} \cdot \cancel{44}^{\text{4}}}{\cancel{33}_{\text{3}} \cdot \cancel{35}_{\text{7}}} = \underline{\hspace{1.5cm}} $ ;

б) $ 2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{14} = \frac{7}{3} \cdot \frac{\overline{\phantom{XX}}}{14} = \underline{\hspace{1.5cm}} $

в) $ \frac{2}{15} : \frac{6}{55} = \frac{2}{15} \cdot \frac{55}{6} = \underline{\hspace{1.5cm}} $

г) $ 3\frac{7}{9} : 2\frac{5}{6} = \frac{\overline{\phantom{XX}}}{9} : \frac{\overline{\phantom{XX}}}{6} = \underline{\hspace{1.5cm}} $

а) $\frac{20}{33} \cdot \frac{44}{35} = \frac{20 \cdot 44}{33 \cdot 35}$

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Перед умножением удобно сократить дроби. Числитель 20 и знаменатель 35 имеют общий делитель 5. Числитель 44 и знаменатель 33 имеют общий делитель 11.

$\frac{\cancel{20}^4 \cdot \cancel{44}^4}{\cancel{33}_3 \cdot \cancel{35}_7} = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 7} = \frac{16}{21}$

Ответ: $\frac{16}{21}$.

б) $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{14}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}$

Теперь выполним умножение полученных дробей, предварительно сократив их:

$\frac{7}{3} \cdot \frac{15}{14} = \frac{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{15}^5}{\cancel{3}_1 \cdot \cancel{14}_2} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $2\frac{1}{2}$.

в) $\frac{2}{15} : \frac{6}{55}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{2}{15} : \frac{6}{55} = \frac{2}{15} \cdot \frac{55}{6}$

Теперь сократим и перемножим дроби:

$\frac{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{55}^{11}}{\cancel{15}_3 \cdot \cancel{6}_3} = \frac{1 \cdot 11}{3 \cdot 3} = \frac{11}{9}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}$

Ответ: $1\frac{2}{9}$.

г) $3\frac{7}{9} : 2\frac{5}{6}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{7}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{34}{9}$

$2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$

Теперь разделим полученные дроби, умножив делимое на дробь, обратную делителю:

$\frac{34}{9} : \frac{17}{6} = \frac{34}{9} \cdot \frac{6}{17}$

Сократим и перемножим дроби:

$\frac{\cancel{34}^2 \cdot \cancel{6}^2}{\cancel{9}_3 \cdot \cancel{17}_1} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$.

16. Выполните действия с десятичными дробями:

a) $63,2$

$\times$

$0,27$

---

$4$

$4$

$+$

---

$4$

б) $0,248$

$\times$

$1,5$

---

в) $0,848 : 0,32 =$

$= 84,8 : 32 =$

$ \begin{array}{r|l} 84,80 & 32 \\ -64 & \cline{2-2} \\ \cline{1-1} 208 & 2,6 \\ -192 & \\ \cline{1-1} 160 & \\ -160 & \\ \cline{1-1} 0 & \\ \end{array} $

г) $0,6968 : 0,67 =$

$= \quad : 67$

д) $898,7 : 0,43 =$

$=$

а) $63,2 \times 0,27$

Чтобы умножить две десятичные дроби, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Умножим $632$ на $27$ столбиком:

 632× 27------ 4424+1264 ------ 17064 

В первом множителе ($63,2$) одна цифра после запятой, во втором ($0,27$) — две. Всего $1+2=3$ цифры после запятой. Отделяем три цифры справа в произведении $17064$.

В результате получаем $17,064$.

Ответ: $17,064$.

б) $0,248 \times 1,5$

Выполним умножение чисел $248$ и $15$, не обращая внимания на запятые:

 248× 15------ 1240+ 248 ------ 3720 

В первом множителе ($0,248$) три цифры после запятой, во втором ($1,5$) — одна. Всего $3 + 1 = 4$ цифры после запятой. Отделяем четыре цифры справа в произведении $3720$.

Получаем $0,3720$, что равно $0,372$.

Ответ: $0,372$.

в) $0,848 : 0,32$

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делимом и в делителе вправо на столько цифр, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

В делителе ($0,32$) две цифры после запятой. Перенесем запятую на две цифры вправо в обоих числах:

$0,848 : 0,32 = 84,8 : 32$.

Выполним деление столбиком:

_84,8 | 32 64 |---- --- | 2,65 _208 192 --- _160 160 --- 0 

В результате деления получаем $2,65$.

Ответ: $2,65$.

г) $0,6968 : 0,67$

Перенесем запятую в делимом и делителе на две цифры вправо, так как в делителе ($0,67$) две цифры после запятой.

$0,6968 : 0,67 = 69,68 : 67$.

Выполним деление столбиком:

_69,68 | 67 67 |---- -- | 1,04 _26 0 --- _268 268 --- 0 

В результате деления получаем $1,04$.

Ответ: $1,04$.

д) $898,7 : 0,43$

В делителе ($0,43$) две цифры после запятой. Перенесем запятую на две цифры вправо в обоих числах. В делимом ($898,7$) для этого нужно добавить один ноль.

$898,7 : 0,43 = 89870 : 43$.

Выполним деление столбиком:

_89870 | 43 86 |---- -- | 2090 _38 0 --- _387 387 --- _0 0 -- 0 

В результате деления получаем $2090$.

Ответ: $2090$.