Страница 72 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

3. Постройте на координатной плоскости четырёхугольник ABCD по координатам его вершин: $A(-5; -3)$, $B(-5; 5)$, $C(6; 5)$, $D(6; -3)$. Обозначьте буквами $K$, $L$, $M$ и $N$ точки пересечения сторон четырёхугольника с осями координат.

Найдите координаты этих точек: $K(\text{___}; \text{___})$, $L(\text{___}; \text{___})$, $M(\text{___}; \text{___})$, $N(\text{___} ; \text{___})$. Найдите периметр $P$ и площадь $S$ четырёхугольника $ABCD$, если длина единичного отрезка равна 5 мм:

$P = \text{_____}$

$S = \text{_____}$

Сначала проанализируем координаты вершин четырехугольника ABCD: A(-5; -3), B(-5; 5), C(6; 5), D(6; -3).
- У точек A и B одинаковая абсцисса $x = -5$, значит, сторона AB вертикальна.
- У точек C и D одинаковая абсцисса $x = 6$, значит, сторона CD вертикальна.
- У точек B и C одинаковая ордината $y = 5$, значит, сторона BC горизонтальна.
- У точек A и D одинаковая ордината $y = -3$, значит, сторона AD горизонтальна.
Так как смежные стороны перпендикулярны (вертикальные и горизонтальные), четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Найдите координаты этих точек: K( _ ; _ ), L( _ ; _ ), M( _ ; _ ), N( _ ; _ )
Точки K, L, M, N — это точки пересечения сторон прямоугольника с осями координат.
- Точка K — пересечение стороны BC (прямая $y=5$) с осью Oy (прямая $x=0$). Координаты K(0; 5).
- Точка L — пересечение стороны AB (прямая $x=-5$) с осью Ox (прямая $y=0$). Координаты L(-5; 0).
- Точка M — пересечение стороны CD (прямая $x=6$) с осью Ox (прямая $y=0$). Координаты M(6; 0).
- Точка N — пересечение стороны AD (прямая $y=-3$) с осью Oy (прямая $x=0$). Координаты N(0; -3).
Ответ: K(0; 5), L(-5; 0), M(6; 0), N(0; -3).

P =
Для нахождения периметра сначала вычислим длины сторон прямоугольника в единичных отрезках.
Длина вертикальной стороны $a = |5 - (-3)| = |5 + 3| = 8$ ед.
Длина горизонтальной стороны $b = |6 - (-5)| = |6 + 5| = 11$ ед.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.
$P_{ед} = 2(8 + 11) = 2 \times 19 = 38$ ед.
Согласно условию, длина единичного отрезка равна 5 мм. Переведем периметр в миллиметры:
$P = 38 \times 5 = 190$ мм.
Ответ: P = 190 мм.

S =
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$. Используем найденные ранее длины сторон $a=8$ ед. и $b=11$ ед.
$S_{ед^2} = 8 \times 11 = 88$ кв. ед.
Поскольку 1 единичный отрезок равен 5 мм, то площадь 1 квадратной единицы составляет $5 \text{ мм} \times 5 \text{ мм} = 25 \text{ мм}^2$.
Переведем площадь в квадратные миллиметры:
$S = 88 \times 25 = 2200 \text{ мм}^2$.
Ответ: S = 2200 мм².

4. Дана точка $C(-5; 3)$. Постройте точку, симметричную точке $C$:

а) относительно оси абсцисс,
запишите её координаты: ($_{\text{___}}$; $_{\text{___}}$);

б) относительно оси ординат,
запишите её координаты: $_{\text{________________}}$

в) относительно начала координат,
запишите её координаты: $_{\text{________________}}$

а) относительно оси абсцисс
При построении точки, симметричной данной точке относительно оси абсцисс (оси $Ox$), ее абсцисса (координата $x$) остается без изменений, а ордината (координата $y$) меняет свой знак на противоположный.
Общее правило: точка $(x; y)$ переходит в точку $(x; -y)$.
Дана точка $C(-5; 3)$. Найдем координаты симметричной ей точки $C_1$:
Абсцисса остается той же: $x_1 = -5$.
Ордината меняет знак: $y_1 = -3$.
Следовательно, координаты искомой точки $C_1$ равны $(-5; -3)$.
Ответ: $(-5; -3)$

б) относительно оси ординат
При построении точки, симметричной данной точке относительно оси ординат (оси $Oy$), ее ордината (координата $y$) остается без изменений, а абсцисса (координата $x$) меняет свой знак на противоположный.
Общее правило: точка $(x; y)$ переходит в точку $(-x; y)$.
Дана точка $C(-5; 3)$. Найдем координаты симметричной ей точки $C_2$:
Абсцисса меняет знак: $x_2 = -(-5) = 5$.
Ордината остается той же: $y_2 = 3$.
Следовательно, координаты искомой точки $C_2$ равны $(5; 3)$.
Ответ: $(5; 3)$

в) относительно начала координат
При построении точки, симметричной данной точке относительно начала координат (точки $O(0;0)$), обе ее координаты ($x$ и $y$) меняют свой знак на противоположный.
Общее правило: точка $(x; y)$ переходит в точку $(-x; -y)$.
Дана точка $C(-5; 3)$. Найдем координаты симметричной ей точки $C_3$:
Абсцисса меняет знак: $x_3 = -(-5) = 5$.
Ордината меняет знак: $y_3 = -3$.
Следовательно, координаты искомой точки $C_3$ равны $(5; -3)$.
Ответ: $(5; -3)$