Страница 76 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

Проверьте себя!

1. Найдите среднее арифметическое чисел 2,8; 3,3; 2,9; 3,2.

Ответ. 3,05.

1. Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно сложить эти числа и результат разделить на их количество.

В данном случае у нас есть четыре числа: 2,8; 3,3; 2,9; 3,2.

1. Сначала найдем их сумму:

$2,8 + 3,3 + 2,9 + 3,2 = 12,2$

2. Теперь разделим полученную сумму на количество чисел, то есть на 4:

$\frac{12,2}{4} = 3,05$

Таким образом, среднее арифметическое заданных чисел равно 3,05.

Ответ: 3,05.

2. Найдите 115 % от 200 г.

Ответ. 230 г.

Чтобы найти процент от числа, можно перевести проценты в десятичную дробь и умножить число на эту дробь.

1. Сначала представим 115% в виде десятичной дроби. Для этого нужно разделить 115 на 100:

$115\% = \frac{115}{100} = 1.15$

2. Теперь умножим исходное число, 200 г, на полученную десятичную дробь:

$200 \text{ г.} \times 1.15 = 230 \text{ г.}$

Также эту задачу можно решить с помощью пропорции. Примем 200 г за 100%, а искомое число, которое обозначим как $x$, за 115%.

Составим пропорцию:

$200 \text{ г.} — 100\%$

$x \text{ г.} — 115\%$

Решим пропорцию, чтобы найти $x$:

$x = \frac{200 \times 115}{100} = \frac{23000}{100} = 230 \text{ г.}$

Оба способа показывают, что 115% от 200 г равно 230 г.

Ответ: 230 г.

3. Найдите число, 70 % которого равны 35.

Ответ. 50.

Для решения этой задачи необходимо найти целое число по его известной части (35) и проценту, который эта часть составляет (70%). Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Решение через уравнение

Пусть искомое число — это $x$. По условию, 70% от $x$ равны 35. Для начала, представим 70% в виде десятичной дроби:

$70\% = \frac{70}{100} = 0.7$

Теперь можно составить уравнение:

$0.7 \cdot x = 35$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.7:

$x = \frac{35}{0.7}$

Выполним деление, предварительно умножив числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{350}{7} = 50$

Способ 2: Решение через пропорцию

Составим пропорцию, в которой искомое число $x$ соответствует 100%, а число 35 соответствует 70%:

$x$ — $100\%$
$35$ — $70\%$

Из этой пропорции следует соотношение:

$\frac{x}{35} = \frac{100}{70}$

Теперь выразим $x$:

$x = \frac{35 \cdot 100}{70} = \frac{3500}{70} = 50$

Ответ: 50

4. Даны множества $A = \{2; 7; 13; 40\}$ и $B = \{1; 13; 40\}$. Найдите их пересечение и объединение.

Ответ.

$A \cap B = \{13; \text{___}\}$, $A \cup B = \{\text{______}\}$.

Даны два множества: $A = \{2; 7; 13; 40\}$ и $B = \{1; 13; 40\}$.

A∩B

Пересечение множеств $A$ и $B$ (обозначается как $A \cap B$) – это множество, которое включает в себя все элементы, принадлежащие одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

Чтобы найти пересечение, необходимо найти общие элементы для обоих множеств. Сравнивая элементы, мы видим, что числа 13 и 40 содержатся как в множестве $A$, так и в множестве $B$.

Ответ: $A \cap B = \{13; 40\}$.

A∪B

Объединение множеств $A$ и $B$ (обозначается как $A \cup B$) – это множество, которое включает в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств (либо $A$, либо $B$, либо обоим сразу), при этом каждый элемент учитывается только один раз.

Чтобы найти объединение, мы должны собрать все уникальные элементы из обоих множеств. Возьмем все элементы из множества $A$: 2, 7, 13, 40. Затем добавим те элементы из множества $B$, которых еще нет в нашем списке: 1. Элементы 13 и 40 из множества $B$ мы не добавляем, так как они уже есть. Объединив все уникальные элементы и расположив их в порядке возрастания, получаем: 1, 2, 7, 13, 40.

Ответ: $A \cup B = \{1; 2; 7; 13; 40\}$.

5. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 42 и 105.

Ответ. 21 и 210.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел 42 и 105, необходимо разложить эти числа на простые множители.

Разложим число 42 на простые множители:

$42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Разложим число 105 на простые множители:

$105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

Наибольший общий делитель

Для нахождения НОД нужно найти произведение общих простых множителей в разложениях чисел 42 и 105.

Разложение числа 42: $2 \cdot \underline{3} \cdot \underline{7}$
Разложение числа 105: $\underline{3} \cdot 5 \cdot \underline{7}$

Общими множителями являются 3 и 7.

$НОД(42; 105) = 3 \cdot 7 = 21$

Ответ: 21

Наименьшее общее кратное

Для нахождения НОК нужно выписать все простые множители из разложения первого числа и домножить их на недостающие множители из разложения второго числа.

Множители числа 42: $2 \cdot 3 \cdot 7$
Множители числа 105: $3 \cdot 5 \cdot 7$

Недостающий множитель из разложения числа 105 — это 5.

$НОК(42; 105) = (2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot 5 = 42 \cdot 5 = 210$

Также НОК можно найти по формуле, используя ранее найденный НОД:

$НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$

$НОК(42, 105) = \frac{42 \cdot 105}{21} = 2 \cdot 105 = 210$

Ответ: 210

6. Выполните действия:

$3\frac{13}{18} + 2\frac{11}{12} - 1\frac{5}{12} = $

Ответ. $5\frac{2}{9}$.

Для выполнения действий $3\frac{13}{18} + 2\frac{11}{12} - 1\frac{5}{12}$ можно выполнять их последовательно. Удобнее начать с вычитания, так как у чисел $2\frac{11}{12}$ и $1\frac{5}{12}$ дробные части имеют одинаковый знаменатель.

1. Выполним вычитание: $2\frac{11}{12} - 1\frac{5}{12}$.

Вычитаем отдельно целые и дробные части:

Целые части: $2 - 1 = 1$.

Дробные части: $\frac{11}{12} - \frac{5}{12} = \frac{11-5}{12} = \frac{6}{12}$.

Сократим полученную дробь $\frac{6}{12}$, разделив числитель и знаменатель на 6: $\frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$.

Результат вычитания: $1\frac{1}{2}$.

2. Теперь исходное выражение принимает вид:

$3\frac{13}{18} + 1\frac{1}{2}$.

3. Выполним сложение. Сначала сложим целые части:

$3 + 1 = 4$.

Затем сложим дробные части: $\frac{13}{18} + \frac{1}{2}$.

4. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 18 и 2 равно 18. Поэтому общим знаменателем будет 18.

Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 18. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 9:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 9}{2 \times 9} = \frac{9}{18}$.

5. Теперь сложим дроби:

$\frac{13}{18} + \frac{9}{18} = \frac{13+9}{18} = \frac{22}{18}$.

6. Дробь $\frac{22}{18}$ — неправильная и сократимая. Сначала сократим ее, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{22 \div 2}{18 \div 2} = \frac{11}{9}$.

Теперь выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{11}{9}$:

$11 \div 9 = 1$ и 2 в остатке. Значит, $\frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}$.

7. Наконец, сложим результат сложения целых частей (4) и результат сложения дробных частей ($1\frac{2}{9}$):

$4 + 1\frac{2}{9} = 5\frac{2}{9}$.

Ответ: $5\frac{2}{9}$