Страница 69 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

1. Постройте прямую MK, параллельную прямой a:

Построение:

а) проведём (с помощью чертёжного треугольника) прямую $MN \perp a$;

б) проведём прямую $MK \perp MN$.

Ответ. $MK \parallel a$.

Задача состоит в том, чтобы построить прямую, которая проходит через заданную точку M и параллельна заданной прямой a. Для решения этой задачи используется метод построения, основанный на свойстве перпендикулярных прямых.

Построение:

а) проведём (с помощью чертёжного треугольника) прямую MN ⊥ a;
На этом шаге мы строим вспомогательную прямую, проходящую через точку M и перпендикулярную прямой a. Для этого нужно приложить один из катетов чертёжного треугольника (сторону, образующую прямой угол) к прямой a. Затем, используя линейку как направляющую, сдвигать треугольник вдоль прямой a до тех пор, пока второй катет не пройдёт через точку M. После этого вдоль этого второго катета проводится прямая. Эта прямая пересекает прямую a в некоторой точке, которую мы обозначим N. Таким образом, мы получаем прямую MN, которая по построению перпендикулярна прямой a. Математически это записывается как $MN \perp a$.

б) проведём прямую MK ⊥ MN.
Теперь необходимо построить прямую, проходящую через точку M и перпендикулярную к только что построенной прямой MN. Для этого нужно приложить один из катетов чертёжного треугольника к прямой MN так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой M. Затем вдоль второго катета проводится искомая прямая, которую мы назовём MK (где K — любая другая точка на этой прямой). По построению, прямая MK перпендикулярна прямой MN. Математически это записывается как $MK \perp MN$.

Полученная прямая MK и является искомой прямой, параллельной прямой a. Правильность этого построения следует из известной теоремы евклидовой геометрии: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то эти две прямые параллельны между собой. В нашем случае обе прямые, a и MK, перпендикулярны одной и той же прямой MN. Следовательно, они параллельны.

Ответ: $MK \parallel a$.

2. Постройте прямую $c$, параллельную прямой $m$ и проходящую через точку $A$:

Задача состоит в построении прямой c, которая проходит через заданную точку A и параллельна заданной прямой m, с использованием только циркуля и линейки. Один из классических методов решения — построение равных соответственных углов.

Алгоритм построения:

1. Проведение секущей.

   Через точку A и любую произвольную точку на прямой m (назовем ее B) проводим с помощью линейки прямую. Эта прямая является секущей для прямой m и будущей прямой c.

2. Построение первой дуги.

   Устанавливаем ножку циркуля в точку B. Выбираем произвольный, удобный для работы радиус $r$. Проводим дугу так, чтобы она пересекла прямую m в точке C и секущую AB в точке D.

3. Построение второй дуги.

   Не изменяя радиус циркуля $r$, переносим его ножку в точку A. Проводим аналогичную дугу так, чтобы она пересекла секущую AB в точке E. Эта дуга должна располагаться с той же стороны от секущей AB, что и точка D относительно точки A.

4. Перенос размера угла.

   С помощью циркуля измеряем расстояние между точками C и D (длину хорды $CD$). Сохраняя это расстояние на циркуле, устанавливаем его ножку в точку E и проводим новую дугу (засечку), которая пересечет дугу, построенную в предыдущем шаге. Точку пересечения этих двух дуг обозначаем как F.

5. Построение искомой прямой.

   С помощью линейки проводим прямую через точки A и F. Эта прямая и есть искомая прямая c.

Обоснование: В результате выполненных построений мы получили равные соответственные углы: $\angle FAE = \angle CBD$. Согласно признаку параллельности двух прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, построенная прямая $c$ параллельна прямой $m$ ($c \parallel m$). Так как прямая c по построению проходит через точку A, она удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построение выполнено. Прямая c, проходящая через точки A и F, параллельна прямой m.