Номер 2.461, страница 105, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 15. Действие деления смешанных чисел - номер 2.461, страница 105.

Условие.

2.461. Найдите частное:

а) 54 : 215; б) 23 : 89; в) 64131 : 3254; г) 64125 : 4; д) 9 : 34; е) 9 : 4; ж) 137 : 1114; з) 213 : 719; и) 3819 : 51538; к) 41736 : 1916.

Решение 1.

2.461

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{5}{4} : \frac{2}{15} = \frac{5}{4} · \frac{15}{2} = \frac{75}{8} = 9\frac{3}{8};$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{2}{3} : \frac{8}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{8}}}} =\frac{1 · 3}{1 · 4} = \frac{3}{4};$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{64}{131} : \frac{32}{52} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{64}}}}{131} · \frac{52}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{32}}}} = \\ = \frac{2 · 52}{131 · 1} = \frac{104}{131}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{64}{125} : 4 = \frac{{\displaystyle \stackrel{16}{\cancel{64}}}}{125} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = \frac{16 · 1}{125 · 1}= \\ = \frac{16}{125}; \end{gathered}$$

$\mathit{д}\mathbf{)} 9 : \frac{3}{4} = \stackrel{3}{\cancel{9} }· \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = \frac{3 · 4 }{1} =12;$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }9 : 4 = 9 · \frac{1}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4};$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)} 1\frac{3}{7} : 1\frac{1}{14} = \frac{10}{7} : \frac{15}{14} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} \times \\ \times \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} = \frac{2 · 2}{1 · 3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} 2\frac{1}{3} : 7 \frac{1}{9} = \frac{7}{3} : \frac{64}{9} =\frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{64}= \\ = \frac{7 · 3 }{1 · 64} = \frac{21}{64}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)}\mathbf{ }3 \frac{8}{19} : 5 \frac{15}{38} = \frac{65}{19} : \frac{205}{38} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{65}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{19}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{38}}}}{{\displaystyle \underset{41}{\cancel{206}}}} = \frac{13 · 2 }{1 · 41} = \frac{26}{41}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{к}\mathbf{)}\mathbf{ }4 \frac{17}{36} : 19\frac{1}{6} = \frac{161}{36} : \frac{115}{6} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\bcancel{161}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{36}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{115}}}} = \frac{7 · 1 }{6 · 5} = \frac{7}{30}. \end{gathered}$$

Решение 2.

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо делимое умножить на дробь, обратную делителю (перевернутую дробь).
$\frac{5}{4} : \frac{2}{15} = \frac{5}{4} \cdot \frac{15}{2} = \frac{5 \cdot 15}{4 \cdot 2} = \frac{75}{8}$.
Полученная дробь является неправильной. Преобразуем ее в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком: $75 \div 8 = 9$ (остаток $3$).
$\frac{75}{8} = 9\frac{3}{8}$.
Ответ: $9\frac{3}{8}$.

б) Умножаем первую дробь на перевернутую вторую. Перед умножением выполним сокращение, чтобы упростить вычисления.
$\frac{2}{3} : \frac{8}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8}$.
Сокращаем числитель $2$ и знаменатель $8$ на $2$. Сокращаем числитель $9$ и знаменатель $3$ на $3$:
$\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{3}^1} \cdot \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{8}^4} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) Выполняем деление, умножая на обратную дробь, и сокращаем общие множители.
$\frac{64}{131} : \frac{32}{52} = \frac{64}{131} \cdot \frac{52}{32}$.
Сокращаем $64$ и $32$ на их общий делитель $32$:
$\frac{\cancel{64}^2}{131} \cdot \frac{52}{\cancel{32}^1} = \frac{2 \cdot 52}{131} = \frac{104}{131}$.
Ответ: $\frac{104}{131}$.

г) Чтобы разделить дробь на целое число, можно представить это число в виде дроби со знаменателем $1$.
$\frac{64}{125} : 4 = \frac{64}{125} : \frac{4}{1} = \frac{64}{125} \cdot \frac{1}{4}$.
Сокращаем $64$ и $4$ на $4$:
$\frac{\cancel{64}^{16}}{125} \cdot \frac{1}{\cancel{4}^1} = \frac{16 \cdot 1}{125 \cdot 1} = \frac{16}{125}$.
Ответ: $\frac{16}{125}$.

д) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю.
$9 : \frac{3}{4} = \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{3}$.
Сокращаем $9$ и $3$ на $3$:
$\frac{\cancel{9}^3}{1} \cdot \frac{4}{\cancel{3}^1} = \frac{3 \cdot 4}{1} = 12$.
Ответ: $12$.

е) Деление одного целого числа на другое можно представить в виде обыкновенной дроби.
$9 : 4 = \frac{9}{4}$.
Так как это неправильная дробь, преобразуем ее в смешанное число: $9 \div 4 = 2$ (остаток $1$).
$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: $2\frac{1}{4}$.

ж) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$.
$1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}$.
Теперь выполним деление дробей:
$\frac{10}{7} : \frac{15}{14} = \frac{10}{7} \cdot \frac{14}{15} = \frac{\cancel{10}^2 \cdot \cancel{14}^2}{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{15}^3} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{4}{3}$.
Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: $1\frac{1}{3}$.

з) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
$7\frac{1}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{63+1}{9} = \frac{64}{9}$.
Выполним деление, умножая на обратную дробь и сокращая:
$\frac{7}{3} : \frac{64}{9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{64} = \frac{7 \cdot \cancel{9}^3}{\cancel{3}^1 \cdot 64} = \frac{7 \cdot 3}{64} = \frac{21}{64}$.
Ответ: $\frac{21}{64}$.

и) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$3\frac{8}{19} = \frac{3 \cdot 19 + 8}{19} = \frac{57 + 8}{19} = \frac{65}{19}$.
$5\frac{15}{38} = \frac{5 \cdot 38 + 15}{38} = \frac{190 + 15}{38} = \frac{205}{38}$.
Выполним деление и сокращение. Заметим, что $38=2 \cdot 19$, $65=5 \cdot 13$ и $205=5 \cdot 41$.
$\frac{65}{19} : \frac{205}{38} = \frac{65}{19} \cdot \frac{38}{205} = \frac{65 \cdot 38}{19 \cdot 205} = \frac{(5 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 19)}{19 \cdot (5 \cdot 41)} = \frac{13 \cdot 2}{41} = \frac{26}{41}$.
Ответ: $\frac{26}{41}$.

к) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$4\frac{17}{36} = \frac{4 \cdot 36 + 17}{36} = \frac{144 + 17}{36} = \frac{161}{36}$.
$19\frac{1}{6} = \frac{19 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{114 + 1}{6} = \frac{115}{6}$.
Выполним деление. Для сокращения разложим числа на простые множители: $161 = 7 \cdot 23$, $115 = 5 \cdot 23$, $36 = 6 \cdot 6$.
$\frac{161}{36} : \frac{115}{6} = \frac{161}{36} \cdot \frac{6}{115} = \frac{161 \cdot 6}{36 \cdot 115} = \frac{(7 \cdot 23) \cdot 6}{(6 \cdot 6) \cdot (5 \cdot 23)} = \frac{7}{6 \cdot 5} = \frac{7}{30}$.
Ответ: $\frac{7}{30}$.

Решение 3.

Решение 4.