Номер 19.1, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.1. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{3}x$;

2) $y = \frac{x}{2} + 5$;

3) $y = \frac{3}{x+2}$;

4) $y = \frac{x(x - 2)}{2}$.

1) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение для функции имеет смысл.

Функция $y = \frac{1}{3}x$ является линейной. Данное выражение определено для любого действительного значения переменной $x$, так как в нем отсутствуют операции, которые могли бы наложить ограничения, такие как деление на переменную или извлечение корня четной степени.

Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел.

Ответ: все числа (или $x \in (-\infty; +\infty)$).

2) Функция $y = \frac{x}{2} + 5$ является линейной. В этом выражении переменная $x$ находится в числителе, а знаменатель является константой (числом 2), отличной от нуля. Операция сложения с числом 5 также не накладывает никаких ограничений.

Поэтому функция определена при любых действительных значениях $x$.

Ответ: все числа (или $x \in (-\infty; +\infty)$).

3) Функция $y = \frac{3}{x+2}$ является дробно-рациональной. Для таких функций существует ограничение: знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как деление на ноль не определено.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$x + 2 = 0$

$x = -2$

Таким образом, функция не определена в точке $x = -2$. Областью определения являются все действительные числа, кроме -2.

Ответ: все числа, кроме -2 (или $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$).

4) Функция $y = \frac{x(x-2)}{2}$ является квадратичной, так как после раскрытия скобок ее можно представить в виде $y = \frac{1}{2}x^2 - x$. Знаменатель в данном выражении — это постоянное число 2, не равное нулю.

Выражение в числителе $x(x-2)$ определено для любого действительного $x$. Поскольку деление происходит на константу, никаких ограничений на значения переменной $x$ не накладывается.

Следовательно, функция определена при любых действительных значениях $x$.

Ответ: все числа (или $x \in (-\infty; +\infty)$).