Вопросы для закрепления, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему с помощью формулы можно задать функцию?

2. В каком случае формула задает функцию?

3. В каком случае формула не задает функцию?

4. Как с помощью формулы, задающей функцию, найти ее область определения?

5. Как по заданному значению функции найти соответствующее значение аргумента?

1. Почему с помощью формулы можно задать функцию?

Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из некоторого множества ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (значения функции). Формула вида $y = f(x)$ как раз и является таким правилом. Она представляет собой инструкцию или алгоритм, который указывает, какие именно арифметические или другие действия нужно выполнить над значением аргумента $x$, чтобы получить соответствующее ему единственное значение $y$. Например, формула $y = 5x - 2$ говорит, что для любого $x$ нужно умножить его на 5 и вычесть 2, чтобы найти уникальное значение $y$. Таким образом, формула является точным и компактным способом задания этого правила соответствия.

Ответ: Формула задает правило (алгоритм вычислений), которое позволяет для каждого допустимого значения аргумента $x$ найти одно-единственное соответствующее ему значение функции $y$.

2. В каком случае формула задает функцию?

Формула задает функцию, если для каждого значения независимой переменной $x$ из области определения по этой формуле можно вычислить только одно значение зависимой переменной $y$. Неважно, что разным значениям $x$ может соответствовать одно и то же значение $y$. Главное — отсутствие неоднозначности: один вход ($x$) — один выход ($y$).

Например, формула $y = x^2$ задает функцию, так как каково бы ни было число $x$, его квадрат — это всегда единственное число. Например, если $x = -3$, то $y = (-3)^2 = 9$ (одно значение).

Ответ: Формула задает функцию, если каждому значению аргумента, на котором она определена, соответствует ровно одно значение зависимой переменной.

3. В каком случае формула не задает функцию?

Формула не задает функцию (точнее, не задает $y$ как функцию от $x$), если существует хотя бы одно значение аргумента $x$, которому эта формула ставит в соответствие более одного значения $y$.

Классический пример — формула, задающая окружность: $x^2 + y^2 = 25$. Если мы попытаемся выразить $y$ через $x$, получим $y^2 = 25 - x^2$, откуда $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$. Возьмем, к примеру, значение аргумента $x = 3$. Подставив его в формулу, мы получим два возможных значения для $y$: $y = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ и $y = -\sqrt{25 - 9} = -\sqrt{16} = -4$. Поскольку одному значению $x=3$ соответствуют два значения $y$ (4 и -4), это соотношение не является функцией.

Ответ: Формула не задает функцию, если хотя бы одному значению аргумента $x$ она сопоставляет два или более значений зависимой переменной $y$.

4. Как с помощью формулы, задающей функцию, найти ее область определения?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых формула имеет смысл (то есть все указанные в ней операции выполнимы). Чтобы найти область определения, нужно проанализировать формулу и выявить все значения $x$, которые приводят к математически невыполнимым действиям. Основные ограничения:

1. Деление на ноль. Если в формуле есть дробь, ее знаменатель не может быть равен нулю. Нужно найти значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, и исключить их из области определения. Пример: для функции $y = \frac{1}{x-3}$ знаменатель $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$. Область определения: все числа, кроме 3.

2. Извлечение корня четной степени. Выражение под знаком корня четной степени (квадратного, четвертой степени и т.д.) должно быть неотрицательным. Пример: для функции $y = \sqrt{x-5}$ подкоренное выражение $x-5 \ge 0$, следовательно, $x \ge 5$. Область определения: все числа, большие или равные 5.

Область определения — это все действительные числа за вычетом тех, что попадают под эти ограничения.

Ответ: Чтобы найти область определения, нужно найти все значения аргумента $x$, для которых все математические операции в формуле выполнимы, то есть исключить из множества всех действительных чисел те значения $x$, которые приводят к делению на ноль или извлечению корня четной степени из отрицательного числа.

5. Как по заданному значению функции найти соответствующее значение аргумента?

Эта задача является обратной к вычислению значения функции. Если нам дано значение функции, скажем $y=k$, и формула функции $y=f(x)$, то для нахождения соответствующего значения аргумента $x$ нужно выполнить следующие шаги:

1. В формулу функции $y = f(x)$ вместо $y$ подставить его заданное значение $k$.

2. Получится уравнение относительно переменной $x$: $k = f(x)$.

3. Решить это уравнение. Найденные корни и будут искомыми значениями аргумента.

Важно помнить, что такое уравнение может иметь один корень, несколько корней или не иметь их вовсе.

Например, найдем, при каком значении $x$ значение функции $y = 2x + 7$ равно 15.

1. Подставляем $y=15$: $15 = 2x + 7$.

2. Решаем уравнение: $15 - 7 = 2x$, откуда $8 = 2x$ и $x = 4$.

Ответ: Нужно подставить заданное значение функции в ее формулу и решить получившееся уравнение относительно аргумента.