Проанализируй и ответь, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как анализировать статистические данные, представленные в виде таблицы и полигона частот?

В таблице 30.2 частот содержится информация об оценках, полученных учащимися класса за контрольную работу:

Таблица 30.2

Анализ статистических данных, представленных в таблице, включает в себя нахождение основных статистических характеристик выборки. Рассмотрим их на примере данных из таблицы.

1. Определение объема выборки

Объем выборки – это общее количество наблюдений. В данном случае это общее число учащихся, писавших контрольную работу. Чтобы его найти, нужно сложить все абсолютные частоты ($n$).

Абсолютные частоты для оценок "3", "4" и "5" равны 4, 12 и 9 соответственно. Найдем их сумму $N$:

$N = 4 + 12 + 9 = 25$

Таким образом, контрольную работу писали 25 учащихся. Это и есть объем выборки.

Ответ: Объем выборки составляет 25.

2. Проверка и использование относительных частот

Относительная частота ($W$) показывает, какую долю от общего числа составляет каждая варианта. Она вычисляется по формуле $W = \frac{n}{N} \cdot 100\%$. Проверим данные таблицы:

Для оценки "3": $W_3 = \frac{4}{25} \cdot 100\% = 0.16 \cdot 100\% = 16\%$

Для оценки "4": $W_4 = \frac{12}{25} \cdot 100\% = 0.48 \cdot 100\% = 48\%$

Для оценки "5": $W_5 = \frac{9}{25} \cdot 100\% = 0.36 \cdot 100\% = 36\%$

Все значения совпадают с табличными. Сумма относительных частот должна быть равна 100%:

$16\% + 48\% + 36\% = 100\%$

Анализ относительных частот показывает, что почти половина класса (48%) получила оценку "4".

Ответ: Данные об относительных частотах в таблице верны.

3. Нахождение моды

Мода – это варианта, имеющая наибольшую абсолютную частоту. Это самое распространенное значение в выборке.

Смотрим на строку "Абсолютная частота варианты" ($n$): 4, 12, 9. Наибольшее значение – 12. Оно соответствует варианте "оценка 4".

Ответ: Мода данной выборки равна 4.

4. Нахождение размаха

Размах выборки – это разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант.

Наибольшая оценка: 5. Наименьшая оценка: 3.

Размах = $5 - 3 = 2$

Ответ: Размах выборки равен 2.

5. Нахождение медианы

Медиана – это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Поскольку у нас 25 наблюдений (нечетное число), медианой будет значение, стоящее на $\frac{N+1}{2}$-м месте.

Номер медианного элемента: $\frac{25+1}{2} = 13$-е место.

Теперь найдем, какая оценка стоит на 13-м месте в упорядоченном ряду всех оценок. Первые 4 места занимают оценки "3". Следующие 12 мест (с 5-го по 16-е) занимают оценки "4". Поскольку 13-е место находится в интервале [5; 16], то на этом месте стоит оценка "4".

Ответ: Медиана данной выборки равна 4.

6. Вычисление среднего арифметического

Среднее арифметическое ($\bar{x}$) – это сумма всех значений, деленная на их количество. Для сгруппированных данных, как в таблице, используется формула взвешенного среднего:

$\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{N}$

Подставим наши значения:

$\bar{x} = \frac{3 \cdot 4 + 4 \cdot 12 + 5 \cdot 9}{25} = \frac{12 + 48 + 45}{25} = \frac{105}{25} = 4.2$

Средний балл за контрольную работу в классе составляет 4.2.

Ответ: Среднее арифметическое равно 4.2.

7. Анализ с помощью полигона частот

Полигон частот – это графическое представление данных, которое помогает наглядно оценить распределение. Для его построения:

1. На горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются варианты (оценки): 3, 4, 5.

2. На вертикальной оси (оси ординат) откладываются соответствующие им абсолютные (или относительные) частоты.

3. В системе координат строятся точки с координатами (варианта; частота): (3; 4), (4; 12), (5; 9).

4. Полученные точки последовательно соединяются отрезками.

В результате получится ломаная линия. Анализ полигона частот позволяет сделать следующие выводы:

• Вершина полигона находится в точке (4; 12), что визуально подтверждает, что оценка "4" является модой.
• Полигон несимметричен. "Хвост" справа (оценки "5") более "тяжелый" по количеству, чем "хвост" слева (оценки "3"), что говорит о небольшом смещении успеваемости в сторону более высоких оценок по сравнению с симметричным распределением вокруг моды. Это также подтверждается тем, что среднее значение (4.2) немного больше моды (4).

Ответ: Полигон частот строится по точкам (оценка; частота) и позволяет визуально определить моду, симметричность и характер распределения данных.