Вопрос критерии успеха, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как представить результаты выборки в виде полигона частот?

Полигон частот — это один из способов графического представления статистических данных. Он представляет собой ломаную линию, соединяющую точки, координаты которых соответствуют значениям признака (для дискретных данных) или серединам интервалов (для непрерывных данных) и их частотам. Построение полигона помогает наглядно оценить характер распределения данных в выборке.

Чтобы представить результаты выборки в виде полигона частот, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сбор и группировка данных

На этом этапе необходимо упорядочить исходные данные (выборку) и составить таблицу частот. Подход зависит от типа данных.

• Для дискретных данных (принимающих отдельные, изолированные значения):

  Составляется таблица, где для каждого уникального значения, называемого вариантой ($x_i$), указывается, сколько раз оно встречается в выборке. Это число называется частотой ($n_i$).

• Для непрерывных данных (могущих принимать любое значение в некотором промежутке):

  a) Весь диапазон значений от минимального ($x_{min}$) до максимального ($x_{max}$) разбивается на несколько равных, непересекающихся интервалов (классов).

  b) Для каждого интервала подсчитывается количество попавших в него значений выборки (частота, $n_i$).

  c) Для каждого интервала находится его середина. Если интервал имеет вид $[a; b)$, то его середина вычисляется по формуле: $x_i = (a + b) / 2$. Именно эти середины интервалов будут использоваться для построения графика.

2. Построение системы координат

Подготавливается двумерная система координат:

• Ось абсцисс (горизонтальная ось X): на ней откладываются значения признака. Для дискретных данных — это сами варианты $x_i$, для непрерывных — середины интервалов $x_i$.
• Ось ординат (вертикальная ось Y): на ней откладываются частоты $n_i$. Также можно использовать относительные частоты ($w_i = n_i / N$, где $N$ — общий объем выборки), тогда график будет называться полигоном относительных частот, но его форма останется той же.

3. Нанесение точек на график

В построенной системе координат отмечаются точки с координатами $(x_i, n_i)$. Каждая точка соответствует паре "значение (или середина интервала) – частота".

4. Соединение точек и замыкание полигона

Отмеченные точки последовательно соединяются отрезками прямой линии. В результате образуется ломаная — полигон частот.

Для полноты картины и наглядности график принято "замыкать" на ось абсцисс. Для этого первый и последний отрезки ломаной соединяют с точками на оси X, имеющими нулевую частоту. Эти точки располагаются на расстоянии одного шага (для дискретных данных) или ширины интервала (для непрерывных) слева от первой точки и справа от последней.

Пример

Рассмотрим построение полигона частот для результатов экзамена группы из 20 студентов:

Исходные данные (оценки): 3, 4, 5, 4, 3, 2, 4, 5, 4, 3, 5, 2, 4, 3, 5, 4, 1, 3, 4, 4.

Шаг 1: Составляем таблицу частот.

Данные являются дискретными. Посчитаем, сколько раз встречается каждая оценка:

• Оценка ($x_i=1$): частота $n_1=1$
• Оценка ($x_i=2$): частота $n_2=2$
• Оценка ($x_i=3$): частота $n_3=5$
• Оценка ($x_i=4$): частота $n_4=8$
• Оценка ($x_i=5$): частота $n_5=4$

Общий объем выборки $N = 1+2+5+8+4 = 20$.

Шаг 2 и 3: Строим оси и наносим точки.

На оси X отложим оценки (1, 2, 3, 4, 5), на оси Y — частоты (от 0 до 8).

Отмечаем точки: (1, 1), (2, 2), (3, 5), (4, 8), (5, 4).

Шаг 4: Соединяем точки.

Соединяем эти точки последовательно отрезками. Для замыкания добавим точки с нулевой частотой. Шаг между оценками равен 1, поэтому добавляем точки ($1-1=0$, 0) и ($5+1=6$, 0), то есть (0, 0) и (6, 0). Соединяем (0, 0) с (1, 1) и (5, 4) с (6, 0).

Полученная ломаная линия и есть полигон частот для данной выборки. Он показывает, что наиболее частой оценкой является "4".

Ответ: Чтобы представить результаты выборки в виде полигона частот, необходимо выполнить четыре основных шага: 1) сгруппировать данные и составить таблицу частот, определив для каждого значения (или середины интервала $x_i$) его частоту ($n_i$); 2) подготовить систему координат, где по горизонтали откладываются значения ($x_i$), а по вертикали — частоты ($n_i$); 3) нанести на график точки с координатами $(x_i, n_i)$; 4) последовательно соединить полученные точки отрезками прямой, получив ломаную линию.