Номер 5, страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. Укажите множество значений $\text{x}$, при которых функция $y = -\frac{14}{x}$ возрастает:

A. $(0; +\infty)$;

B. $(-\infty; 0)$;

C. $\text{R}$;

D. $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Чтобы найти множество значений x, при которых функция возрастает, необходимо найти интервалы, на которых ее первая производная положительна.

Заданная функция: $y = -\frac{14}{x}$.

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Следовательно, область определения функции состоит из двух интервалов: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Далее найдем производную функции. Для удобства дифференцирования представим функцию в степенном виде: $y = -14x^{-1}$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1}$, получаем: $y' = (-14x^{-1})' = -14 \cdot (-1)x^{-1-1} = 14x^{-2} = \frac{14}{x^2}$.

Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная $y'$ строго больше нуля. Составим и решим неравенство: $y' > 0$ $\frac{14}{x^2} > 0$

Проанализируем это неравенство. Числитель дроби, равный 14, является положительным числом. Знаменатель дроби, $x^2$, также всегда положителен для любого значения x из области определения (так как квадрат любого ненулевого числа — положительное число).

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, вся дробь будет положительной для всех x из области определения функции.

Таким образом, производная функции положительна на всей ее области определения. Это означает, что функция $y = -\frac{14}{x}$ возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Искомое множество значений x является объединением этих двух интервалов, что соответствует варианту D.

Ответ: D. $(-\infty;0)\text{и}(0;+\infty)$.