Номер 10, страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Сколько точек пересечений имеют графики функций $y = 3x^3$ и $y = \frac{3}{x}$?

А. Не имеют общих точек.

В. Одну точку.

С. Две точки.

D. Три точки.

Для того чтобы найти количество точек пересечения графиков функций $y = 3x^3$ и $y = \frac{3}{x}$, необходимо найти количество решений системы уравнений:

$\begin{cases} y = 3x^3 \\ y = \frac{3}{x} \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения. При этом учтём, что $x \neq 0$, так как на ноль делить нельзя.

$3x^3 = \frac{3}{x}$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^3 = \frac{1}{x}$

Теперь умножим обе части на $x$ (это допустимо, так как $x \neq 0$):

$x^3 \cdot x = 1$

$x^4 = 1$

Данное биквадратное уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \sqrt[4]{1} = 1$

$x_2 = -\sqrt[4]{1} = -1$

Поскольку мы получили два различных действительных значения для $x$, это означает, что графики функций пересекаются в двух точках. Для каждого значения $x$ мы можем найти соответствующее значение $y$:

1. При $x=1$, $y = 3(1)^3 = 3$. Точка пересечения $(1, 3)$.

2. При $x=-1$, $y = 3(-1)^3 = -3$. Точка пересечения $(-1, -3)$.

Таким образом, графики функций имеют ровно две точки пересечения.

Ответ: C. Две точки.