Номер 123, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Рациональные числа. Параграф 5. Десятичные дроби - номер 123, страница 35.

Условие.

123. Представить в виде периодической дроби частное:

1) $\frac{1}{6}$;

2) $\frac{4}{9}$;

3) $\frac{7}{11}$;

4) $\frac{20}{12}$.

Полученную дробь округлить до тысячных.

Решение 1.

Решение 5.

1) Представим частное $1:6$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{6}$. Чтобы получить десятичную дробь, разделим числитель на знаменатель. При делении $1$ на $6$ получаем $0,1$ и остаток $4$. Далее, приписывая к остатку $0$, мы будем постоянно делить $40$ на $6$, получая в частном $6$ и в остатке $4$. Этот процесс бесконечен, и цифра $6$ в частном повторяется. Таким образом, получаем смешанную периодическую дробь: $1:6 = 0,1666... = 0,1(6)$.

Чтобы округлить полученную дробь до тысячных, нужно посмотреть на четвертую цифру после запятой. В числе $0,1666...$ четвертая цифра — это $6$. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных (третью после запятой) увеличиваем на единицу: $0,166... \approx 0,167$.

Ответ: $0,1(6)$; $0,167$.

2) Представим частное $4:9$ в виде обыкновенной дроби $\frac{4}{9}$. Выполним деление $4$ на $9$. Так как $4$ меньше $9$, в целой части частного будет $0$. Делим $40$ на $9$, получаем $4$ и в остатке $4$. Этот остаток будет повторяться бесконечно, а значит, в частном будет бесконечно повторяться цифра $4$. Таким образом, получаем чистую периодическую дробь: $4:9 = 0,444... = 0,(4)$.

Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой. В числе $0,4444...$ это $4$. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде тысячных оставляем без изменений: $0,444... \approx 0,444$.

Ответ: $0,(4)$; $0,444$.

3) Представим частное $7:11$ в виде обыкновенной дроби $\frac{7}{11}$. Выполним деление $7$ на $11$. Делим $70$ на $11$, получаем $6$ и в остатке $4$. Делим $40$ на $11$, получаем $3$ и в остатке $7$. Далее остаток $7$ повторяется, и, следовательно, цифры в частном $(63)$ будут повторяться. Получаем чистую периодическую дробь: $7:11 = 0,6363... = 0,(63)$.

Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой. В числе $0,6363...$ это $3$. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде тысячных оставляем без изменений: $0,6363... \approx 0,636$.

Ответ: $0,(63)$; $0,636$.

4) Представим частное $20:12$ в виде обыкновенной дроби $\frac{20}{12}$. Сначала сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4: $\frac{20}{12} = \frac{20 \div 4}{12 \div 4} = \frac{5}{3}$.

Теперь разделим $5$ на $3$. При делении $5$ на $3$ получаем $1$ в целой части и $2$ в остатке. Далее делим $20$ на $3$, получаем $6$ и в остатке $2$. Этот остаток будет повторяться, а значит, и цифра $6$ в частном будет повторяться бесконечно. Получаем смешанную периодическую дробь: $20:12 = 1,666... = 1,(6)$.

Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой. В числе $1,6666...$ это $6$. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на единицу: $1,666... \approx 1,667$.

Ответ: $1,(6)$; $1,667$.