Номер 12, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 3. Выражения с переменными - номер 12, страница 15.

Условие.

12. Укажите все натуральные значения $n$, при которых значение выражения $47 - 3n$ кратно 5:

Решение.

Решение 2.

Согласно условию, значение выражения $47 - 3n$ должно быть кратно 5. Это означает, что остаток от деления данного выражения на 5 равен нулю. В терминах модульной арифметики это записывается как сравнение:

$47 - 3n \equiv 0 \pmod{5}$

Упростим это сравнение. Найдем остаток от деления числа 47 на 5:

$47 = 5 \cdot 9 + 2$, следовательно, $47 \equiv 2 \pmod{5}$.

Подставим это в наше сравнение:

$2 - 3n \equiv 0 \pmod{5}$

Перенесем $3n$ в правую часть:

$2 \equiv 3n \pmod{5}$

Чтобы найти $n$, нам нужно умножить обе части сравнения на число, обратное к 3 по модулю 5. Найдем такое число $x$, что $3x \equiv 1 \pmod{5}$. Простым перебором находим, что $3 \cdot 2 = 6$, а $6 \equiv 1 \pmod{5}$. Значит, обратное к 3 число по модулю 5 это 2.

Умножим обе части сравнения $3n \equiv 2 \pmod{5}$ на 2:

$2 \cdot (3n) \equiv 2 \cdot 2 \pmod{5}$

$6n \equiv 4 \pmod{5}$

Поскольку $6 \equiv 1 \pmod{5}$, мы получаем:

$1 \cdot n \equiv 4 \pmod{5}$

$n \equiv 4 \pmod{5}$

Это означает, что натуральное число $n$ при делении на 5 должно давать в остатке 4. Все такие числа можно представить в виде формулы:

$n = 5k + 4$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом ($n \ge 1$), то $5k + 4 \ge 1$, что означает $5k \ge -3$, или $k \ge -0.6$. Так как $k$ должно быть целым, его наименьшее возможное значение равно 0. Таким образом, $k$ может быть любым целым неотрицательным числом.

При $k=0$ имеем $n=4$. При $k=1$ имеем $n=9$. При $k=2$ имеем $n=14$, и так далее.

Ответ: все натуральные числа вида $n = 5k + 4$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$).