Номер 17, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 3. Выражения с переменными - номер 17, страница 16.

Условие.

17. Решая некоторые задачи из геометрии и механики, Архимед вывел формулу

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Пользуясь этой формулой, найдите сумму $1^2 + 2^2 + \dots + 7^2$.

......................

Проверьте ответ, выполнив сложение квадратов чисел от 1 до 7 включительно.

Решение.

Решение 2.

Пользуясь этой формулой, найдите сумму $1^2 + 2^2 + ... + 7^2$

Для нахождения суммы квадратов чисел от 1 до 7 воспользуемся формулой суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел: $1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

В данном случае, последний член суммы это $7^2$, следовательно, $n = 7$. Подставим значение $n=7$ в формулу:

$\frac{7(7+1)(2 \cdot 7+1)}{6} = \frac{7 \cdot 8 \cdot (14+1)}{6} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 15}{6}$

Выполним вычисления, сократив дробь:

$\frac{7 \cdot 8 \cdot 15}{6} = \frac{840}{6} = 140$

Или можно сократить до умножения: $\frac{7 \cdot 8 \cdot 15}{6} = 7 \cdot 4 \cdot 5 = 140$.

Ответ: 140.

Проверьте ответ, выполнив сложение квадратов чисел от 1 до 7 включительно

Для проверки найдем сумму квадратов чисел от 1 до 7 прямым сложением:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49$

Сложим полученные значения:

$1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 5 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 14 + 16 + 25 + 36 + 49 = 30 + 25 + 36 + 49 = 55 + 36 + 49 = 91 + 49 = 140$

Результат, полученный с помощью формулы, совпадает с результатом прямого сложения.

Ответ: 140.