Номер 13, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 13, страница 42.

Условие.

13. Преобразуйте выражение, используя формулу квадрата суммы или квадрата разности:

$(x^{n+3} + x^{n-3})^2 = (x^{n+3})^2 + 2x^{n+3} \cdot x^{n-3} + (x^{n-3})^2 = x^{2n+6} + 2x^{2n} + x^{2n-6}$

а) $(a^{2n+1} - a^{2n-1})^2 = $

б) $(y^{m+n} + y^{m-n})^2 = $

Решение.

Решение 2.

а) Для преобразования выражения $(a^{2n+1} - a^{2n-1})^2$ используем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае, $x = a^{2n+1}$ и $y = a^{2n-1}$.
Раскроем скобки по формуле:
$(a^{2n+1} - a^{2n-1})^2 = (a^{2n+1})^2 - 2 \cdot a^{2n+1} \cdot a^{2n-1} + (a^{2n-1})^2$.
Теперь упростим каждый член выражения, используя свойства степеней $(x^m)^k = x^{mk}$ и $x^m \cdot x^k = x^{m+k}$:
1. Первый член: $(a^{2n+1})^2 = a^{2(2n+1)} = a^{4n+2}$.
2. Второй член: $-2 \cdot a^{2n+1} \cdot a^{2n-1} = -2 \cdot a^{(2n+1) + (2n-1)} = -2 \cdot a^{2n+1+2n-1} = -2a^{4n}$.
3. Третий член: $(a^{2n-1})^2 = a^{2(2n-1)} = a^{4n-2}$.
Соберем все вместе: $a^{4n+2} - 2a^{4n} + a^{4n-2}$.
Ответ: $a^{4n+2} - 2a^{4n} + a^{4n-2}$.

б) Для преобразования выражения $(y^{m+n} + y^{m-n})^2$ используем формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x = y^{m+n}$ и $y = y^{m-n}$.
Раскроем скобки:
$(y^{m+n} + y^{m-n})^2 = (y^{m+n})^2 + 2 \cdot y^{m+n} \cdot y^{m-n} + (y^{m-n})^2$.
Упростим каждый член, используя те же свойства степеней:
1. Первый член: $(y^{m+n})^2 = y^{2(m+n)} = y^{2m+2n}$.
2. Второй член: $2 \cdot y^{m+n} \cdot y^{m-n} = 2 \cdot y^{(m+n) + (m-n)} = 2 \cdot y^{m+n+m-n} = 2y^{2m}$.
3. Третий член: $(y^{m-n})^2 = y^{2(m-n)} = y^{2m-2n}$.
Объединим полученные члены: $y^{2m+2n} + 2y^{2m} + y^{2m-2n}$.
Ответ: $y^{2m+2n} + 2y^{2m} + y^{2m-2n}$.