Номер 9, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 9, страница 41.

Условие.

9. Впишите пропущенные одночлены так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) $(\dots + 7b)^2 = a^2 + 14ab + \dots;$

б) $(\dots - x)^2 = \dots - 10ax + x^2;$

в) $(\dots + p)^2 = 9a^2 + \dots + \dots;$

г) $(x - \dots)^2 = \dots - \dots + 16y^2.$

Решение.

Решение 2.

Для решения данных задач необходимо использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

а) Исходное равенство: $(\dots + 7b)^2 = a^2 + 14ab + \dots$.

Это формула квадрата суммы. Обозначим первое неизвестное слагаемое в скобках как $X$, а неизвестное слагаемое в правой части как $Y$.

$(X + 7b)^2 = a^2 + 14ab + Y$.

Раскроем левую часть по формуле: $(X + 7b)^2 = X^2 + 2 \cdot X \cdot (7b) + (7b)^2 = X^2 + 14Xb + 49b^2$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью равенства: $X^2 + 14Xb + 49b^2 = a^2 + 14ab + Y$.

Для того чтобы равенство было тождеством, соответствующие одночлены должны быть равны.

1. Сравниваем первые члены: $X^2 = a^2$, следовательно, $X=a$.

2. Сравниваем вторые (средние) члены: $14Xb = 14ab$. Подставляя $X=a$, получаем $14ab = 14ab$, что подтверждает правильность нашего выбора.

3. Сравниваем третьи члены: $49b^2 = Y$.

Таким образом, в первое пропущенное место нужно вписать $a$, а во второе — $49b^2$.

Итоговое тождество: $(a + 7b)^2 = a^2 + 14ab + 49b^2$.

Ответ: $a$; $49b^2$.

б) Исходное равенство: $(\dots - x)^2 = \dots - 10ax + x^2$.

Это формула квадрата разности. Обозначим первое неизвестное слагаемое в скобках как $X$, а первое неизвестное слагаемое в правой части как $Y$.

$(X - x)^2 = Y - 10ax + x^2$.

Раскроем левую часть по формуле: $(X - x)^2 = X^2 - 2 \cdot X \cdot x + x^2 = X^2 - 2Xx + x^2$.

Сравниваем полученное выражение с правой частью: $X^2 - 2Xx + x^2 = Y - 10ax + x^2$.

1. Сравниваем средние члены: $-2Xx = -10ax$. Отсюда, разделив обе части на $-2x$, получаем $X=5a$.

2. Сравниваем первые члены: $X^2 = Y$. Подставив найденное значение $X$, находим $Y = (5a)^2 = 25a^2$.

Таким образом, в первое пропущенное место нужно вписать $5a$, а во второе — $25a^2$.

Итоговое тождество: $(5a - x)^2 = 25a^2 - 10ax + x^2$.

Ответ: $5a$; $25a^2$.

в) Исходное равенство: $(\dots + p)^2 = 9a^2 + \dots + \dots$.

Здесь используется формула квадрата суммы. В равенстве три пропуска. Обозначим их $X$, $Y$ и $Z$.

$(X + p)^2 = 9a^2 + Y + Z$.

Левая часть раскрывается как $(X+p)^2 = X^2 + 2Xp + p^2$. Следовательно, правая часть должна состоять из этих трех членов.

$X^2 + 2Xp + p^2 = 9a^2 + Y + Z$.

1. Первый член в правой части, $9a^2$, должен быть квадратом первого члена в скобках. $X^2 = 9a^2$, откуда $X=3a$.

2. Теперь мы знаем оба члена в скобках: $(3a + p)$. Раскроем квадрат этой суммы: $(3a + p)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot p + p^2 = 9a^2 + 6ap + p^2$.

3. Сравнивая с $9a^2 + Y + Z$, находим, что средний член $Y = 6ap$, а последний член $Z = p^2$.

Таким образом, пропущенные одночлены — это $3a$, $6ap$ и $p^2$.

Итоговое тождество: $(3a + p)^2 = 9a^2 + 6ap + p^2$.

Ответ: $3a$; $6ap$; $p^2$.

г) Исходное равенство: $(x - \dots)^2 = \dots - \dots + 16y^2$.

Это формула квадрата разности. Обозначим три пропуска как $Y$, $A$ и $B$.

$(x - Y)^2 = A - B + 16y^2$.

Раскроем левую часть: $(x - Y)^2 = x^2 - 2xY + Y^2$.

Сравним с правой частью: $x^2 - 2xY + Y^2 = A - B + 16y^2$.

1. Квадрат второго члена в скобках $Y^2$ должен быть равен последнему члену в правой части $16y^2$. Итак, $Y^2 = 16y^2$, откуда $Y = 4y$.

2. Теперь мы знаем оба члена в скобках: $(x - 4y)$. Раскроем квадрат этой разности: $(x - 4y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (4y) + (4y)^2 = x^2 - 8xy + 16y^2$.

3. Сравнивая полученное выражение с правой частью $A - B + 16y^2$, находим, что $A = x^2$ и $B = 8xy$.

Таким образом, пропущенные одночлены: $4y$ (в скобках), $x^2$ и $8xy$ (в правой части).

Итоговое тождество: $(x - 4y)^2 = x^2 - 8xy + 16y^2$.

Ответ: $4y$; $x^2$; $8xy$.