Номер 4, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 4, страница 39.

Условие.

4. Не вычисляя значения выражения, сравните его с единицей:

а) $\frac{276^2 + 143^2}{(276+143)^2}$ 1;

б) $\frac{(4,17-3,94)^2}{4,17^2+3,94^2}$ 1.

Решение.

Решение 2.

а)

Сравним выражение $\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2}$ с 1.

Обозначим $a = 276$ и $b = 143$. Выражение примет вид $\frac{a^2 + b^2}{(a + b)^2}$.

Раскроем знаменатель по формуле сокращенного умножения (квадрат суммы): $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Подставим раскрытый знаменатель в дробь: $\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 2ab + b^2}$.

Числитель этой дроби равен $a^2 + b^2$, а знаменатель равен $a^2 + 2ab + b^2$. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа ($276 > 0$ и $143 > 0$), то и произведение $2ab$ является положительным числом.

Это означает, что знаменатель больше числителя: $a^2 + 2ab + b^2 > a^2 + b^2$.

Так как в дроби с положительными числителем и знаменателем знаменатель больше числителя, то значение этой дроби меньше 1.

Ответ: $\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2} < 1$.

б)

Сравним выражение $\frac{(4,17 - 3,94)^2}{4,17^2 + 3,94^2}$ с 1.

Обозначим $a = 4,17$ и $b = 3,94$. Выражение примет вид $\frac{(a - b)^2}{a^2 + b^2}$.

Раскроем числитель по формуле сокращенного умножения (квадрат разности): $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Подставим раскрытый числитель в дробь: $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + b^2}$.

Числитель этой дроби равен $a^2 - 2ab + b^2$, а знаменатель равен $a^2 + b^2$. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа ($4,17 > 0$ и $3,94 > 0$), то произведение $2ab$ является положительным числом.

Это означает, что из суммы $a^2 + b^2$ в числителе вычитается положительное число, следовательно, числитель меньше знаменателя: $a^2 - 2ab + b^2 < a^2 + b^2$.

Так как числитель $(a - b)^2$ положителен (поскольку $a \neq b$) и знаменатель $a^2 + b^2$ положителен, а числитель меньше знаменателя, то значение этой дроби меньше 1.

Ответ: $\frac{(4,17 - 3,94)^2}{4,17^2 + 3,94^2} < 1$.