Номер 7, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 7, страница 40.

Условие.

7. Возведите в куб:

a) сумму утроенного числа a и удвоенного числа b:

$(3a + 2b)^3$

б) разность числа a и половины числа b:

$(a - \frac{1}{2}b)^3$

Решение.

Решение 2.

а)

Сначала запишем математическое выражение для "суммы утроенного числа $a$ и удвоенного числа $b$".
Утроенное число $a$ — это $3a$.
Удвоенное число $b$ — это $2b$.
Их сумма: $(3a + 2b)$.
Теперь необходимо возвести это выражение в куб: $(3a + 2b)^3$.
Для этого воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Подставим $x=3a$ и $y=2b$ в формулу:
$(3a + 2b)^3 = (3a)^3 + 3(3a)^2(2b) + 3(3a)(2b)^2 + (2b)^3$
Теперь упростим каждый член выражения:
$(3a)^3 = 27a^3$
$3(3a)^2(2b) = 3 \cdot (9a^2) \cdot (2b) = 54a^2b$
$3(3a)(2b)^2 = 3 \cdot (3a) \cdot (4b^2) = 36ab^2$
$(2b)^3 = 8b^3$
Собрав все вместе, получаем:
$27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3$
Ответ: $27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3$.

б)

Сначала запишем математическое выражение для "разности числа $a$ и половины числа $b$".
Число $a$ — это $a$.
Половина числа $b$ — это $\frac{b}{2}$.
Их разность: $(a - \frac{b}{2})$.
Теперь необходимо возвести это выражение в куб: $(a - \frac{b}{2})^3$.
Для этого воспользуемся формулой куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Подставим $x=a$ и $y=\frac{b}{2}$ в формулу:
$(a - \frac{b}{2})^3 = a^3 - 3(a)^2(\frac{b}{2}) + 3(a)(\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^3$
Теперь упростим каждый член выражения:
$a^3 - 3a^2 \cdot \frac{b}{2} + 3a \cdot \frac{b^2}{4} - \frac{b^3}{8}$
$a^3 - \frac{3}{2}a^2b + \frac{3}{4}ab^2 - \frac{b^3}{8}$
Ответ: $a^3 - \frac{3}{2}a^2b + \frac{3}{4}ab^2 - \frac{b^3}{8}$.