Номер 12, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 12, страница 42.

Условие.

12. На отрезке длиной 30 см построены два квадрата, площадь одного из которых на 180 см2 больше площади другого. Найдите длины сторон квадратов.

Решение.

Решение.

Решение 2.

Решение.

Обозначим длины сторон двух квадратов как $x$ и $y$ (в сантиметрах). Из рисунка следует, что два квадрата построены на отрезке длиной 30 см так, что сумма их сторон равна длине этого отрезка.

Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 30$

Площадь квадрата со стороной $x$ равна $x^2$, а площадь квадрата со стороной $y$ равна $y^2$. По условию задачи, площадь одного квадрата на 180 см² больше площади другого. Предположим, что $x$ — это сторона большего квадрата, тогда $x > y$. В этом случае:

$x^2 = y^2 + 180$

Перенесем $y^2$ в левую часть, чтобы получить второе уравнение:

$x^2 - y^2 = 180$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 30 \\ x^2 - y^2 = 180 \end{cases}$

Во втором уравнении применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$(x - y)(x + y) = 180$

Мы знаем из первого уравнения, что $x + y = 30$. Подставим это значение во второе уравнение:

$(x - y) \cdot 30 = 180$

Теперь найдем разность сторон $x - y$, разделив обе части уравнения на 30:

$x - y = \frac{180}{30}$

$x - y = 6$

Мы получили новую, более простую систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 30 \\ x - y = 6 \end{cases}$

Чтобы решить эту систему, можно сложить два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = 30 + 6$

$2x = 36$

$x = \frac{36}{2}$

$x = 18$

Теперь, зная $x$, найдем $y$ из любого из уравнений. Возьмем $x + y = 30$:

$18 + y = 30$

$y = 30 - 18$

$y = 12$

Итак, длины сторон квадратов равны 18 см и 12 см.

Проверим правильность решения.Сумма сторон: $18 + 12 = 30$ см.Площадь большего квадрата: $18^2 = 324$ см².Площадь меньшего квадрата: $12^2 = 144$ см².Разница площадей: $324 - 144 = 180$ см².Все условия задачи выполнены.

Ответ: длины сторон квадратов равны 18 см и 12 см.