Номер 2, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 29. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности - номер 2, страница 44.

Условие.

2. Подчеркните те из трёхчленов, которые можно представить в виде квадрата двучлена:

$1 - 4a + 4a^2$, $25 + 10b + b^2$, $16 - a^2 + 8a$, $\frac{1}{9} x^2 + xy + 9y^2$,

$p^2 + 4c^2 - 4pc$, $\frac{1}{36} m^2 - mn + 9n^2$, $-2ab + \frac{1}{4} a^2 + 4b^2$.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы трехчлен можно было представить в виде квадрата двучлена, он должен соответствовать одной из формул сокращенного умножения: квадрату суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ или квадрату разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. Это означает, что два члена трехчлена должны быть полными квадратами некоторых выражений ($A^2$ и $B^2$), а третий член должен быть удвоенным произведением этих выражений ($2AB$ или $-2AB$). Проверим каждый из предложенных трехчленов.

$1 - 4a + 4a^2$

Переставим члены трехчлена для удобства: $4a^2 - 4a + 1$. Проверим, соответствует ли он формуле $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. Первый член $4a^2$ является квадратом выражения $2a$, то есть $A=2a$. Третий член $1$ является квадратом $1$, то есть $B=1$. Проверим, равен ли средний член $-2AB$. Вычисляем: $-2 \cdot (2a) \cdot 1 = -4a$. Это совпадает со средним членом трехчлена. Следовательно, данный трехчлен является полным квадратом: $1 - 4a + 4a^2 = (1-2a)^2$.

Ответ: можно представить.

$25 + 10b + b^2$

Переставим члены трехчлена: $b^2 + 10b + 25$. Проверим, соответствует ли он формуле $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. Первый член $b^2$ является квадратом $b$, то есть $A=b$. Третий член $25$ является квадратом $5$, то есть $B=5$. Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot b \cdot 5 = 10b$. Это совпадает со средним членом трехчлена. Следовательно, данный трехчлен является полным квадратом: $25 + 10b + b^2 = (5+b)^2$.

Ответ: можно представить.

$16 - a^2 + 8a$

Переставим члены трехчлена: $-a^2 + 8a + 16$. Для того чтобы трехчлен был квадратом двучлена, два его члена должны быть положительными полными квадратами. В данном выражении есть только один положительный полный квадрат ($16=4^2$), а член $-a^2$ имеет отрицательный знак. Следовательно, этот трехчлен не может быть представлен в виде квадрата двучлена.

Ответ: нельзя представить.

$\frac{1}{9}x^2 + xy + 9y^2$

Проверим, соответствует ли трехчлен формуле $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. Первый член $\frac{1}{9}x^2$ является квадратом $\frac{1}{3}x$, то есть $A=\frac{1}{3}x$. Третий член $9y^2$ является квадратом $3y$, то есть $B=3y$. Проверим, чему равно удвоенное произведение $2AB$: $2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (3y) = 2xy$. Средний член в заданном трехчлене равен $xy$, что не равно $2xy$. Следовательно, этот трехчлен не является полным квадратом.

Ответ: нельзя представить.

$p^2 + 4c^2 - 4pc$

Переставим члены трехчлена: $p^2 - 4pc + 4c^2$. Проверим, соответствует ли он формуле $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. Первый член $p^2$ является квадратом $p$, то есть $A=p$. Третий член $4c^2$ является квадратом $2c$, то есть $B=2c$. Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot p \cdot (2c) = -4pc$. Это совпадает со средним членом трехчлена. Следовательно, данный трехчлен является полным квадратом: $p^2 + 4c^2 - 4pc = (p-2c)^2$.

Ответ: можно представить.

$\frac{1}{36}m^2 - mn + 9n^2$

Проверим, соответствует ли трехчлен формуле $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. Первый член $\frac{1}{36}m^2$ является квадратом $\frac{1}{6}m$, то есть $A=\frac{1}{6}m$. Третий член $9n^2$ является квадратом $3n$, то есть $B=3n$. Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (\frac{1}{6}m) \cdot (3n) = -(\frac{6}{6})mn = -mn$. Это совпадает со средним членом трехчлена. Следовательно, данный трехчлен является полным квадратом: $\frac{1}{36}m^2 - mn + 9n^2 = (\frac{1}{6}m - 3n)^2$.

Ответ: можно представить.

$-2ab + \frac{1}{4}a^2 + 4b^2$

Переставим члены трехчлена: $\frac{1}{4}a^2 - 2ab + 4b^2$. Проверим, соответствует ли он формуле $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. Первый член $\frac{1}{4}a^2$ является квадратом $\frac{1}{2}a$, то есть $A=\frac{1}{2}a$. Третий член $4b^2$ является квадратом $2b$, то есть $B=2b$. Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (2b) = -2ab$. Это совпадает со средним членом трехчлена. Следовательно, данный трехчлен является полным квадратом: $-2ab + \frac{1}{4}a^2 + 4b^2 = (\frac{1}{2}a - 2b)^2$.

Ответ: можно представить.

---

Таким образом, трехчлены, которые можно представить в виде квадрата двучлена, следующие (подчеркнуты):

$1 - 4a + 4a^2$, $25 + 10b + b^2$, $16 - a^2 + 8a$, $\frac{1}{9}x^2 + xy + 9y^2$, $p^2 + 4c^2 - 4pc$, $\frac{1}{36}m^2 - mn + 9n^2$, $-2ab + \frac{1}{4}a^2 + 4b^2$.