Номер 14, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 14, страница 42.

Условие.

14. Упростите выражение:

a) $(3x^n + 2y^n)^2 - 12(xy)^n = $

б) $(0,5a^{2n+1} - b^{2n+1})^2 + (ab)^{2n+1} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы упростить выражение $(3x^n + 2y^n)^2 - 12(xy)^n$, мы применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$.

1. Раскроем квадрат суммы, где $a = 3x^n$ и $b = 2y^n$:

$(3x^n + 2y^n)^2 = (3x^n)^2 + 2 \cdot (3x^n) \cdot (2y^n) + (2y^n)^2$

2. Упростим каждый член полученного выражения, используя свойство степени $(x^m)^k = x^{mk}$:

$(3x^n)^2 = 3^2 \cdot (x^n)^2 = 9x^{2n}$

$2 \cdot (3x^n) \cdot (2y^n) = (2 \cdot 3 \cdot 2) \cdot x^n y^n = 12x^n y^n$

$(2y^n)^2 = 2^2 \cdot (y^n)^2 = 4y^{2n}$

Таким образом, $(3x^n + 2y^n)^2 = 9x^{2n} + 12x^n y^n + 4y^{2n}$.

3. Теперь подставим это обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$ (9x^{2n} + 12x^n y^n + 4y^{2n}) - 12(xy)^n = 9x^{2n} + 12x^n y^n + 4y^{2n} - 12x^n y^n $

Слагаемые $12x^n y^n$ и $-12x^n y^n$ взаимно уничтожаются:

$9x^{2n} + 4y^{2n}$

Ответ: $9x^{2n} + 4y^{2n}$

б) Чтобы упростить выражение $(0,5a^{2n+1} - b^{2n+1})^2 + (ab)^{2n+1}$, мы применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1. Раскроем квадрат разности, где $a = 0,5a^{2n+1}$ и $b = b^{2n+1}$:

$(0,5a^{2n+1} - b^{2n+1})^2 = (0,5a^{2n+1})^2 - 2 \cdot (0,5a^{2n+1}) \cdot (b^{2n+1}) + (b^{2n+1})^2$

2. Упростим каждый член полученного выражения:

$(0,5a^{2n+1})^2 = 0,5^2 \cdot (a^{2n+1})^2 = 0,25a^{2(2n+1)} = 0,25a^{4n+2}$

$2 \cdot (0,5a^{2n+1}) \cdot (b^{2n+1}) = 1 \cdot a^{2n+1}b^{2n+1} = (ab)^{2n+1}$

$(b^{2n+1})^2 = b^{2(2n+1)} = b^{4n+2}$

Таким образом, $(0,5a^{2n+1} - b^{2n+1})^2 = 0,25a^{4n+2} - (ab)^{2n+1} + b^{4n+2}$.

3. Теперь подставим это обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(0,25a^{4n+2} - (ab)^{2n+1} + b^{4n+2}) + (ab)^{2n+1}$

Слагаемые $-(ab)^{2n+1}$ и $(ab)^{2n+1}$ взаимно уничтожаются:

$0,25a^{4n+2} + b^{4n+2}$

Ответ: $0,25a^{4n+2} + b^{4n+2}$