Номер 11, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 11, страница 41.

Условие.

11. Докажите, что если из квадрата целого числа, не кратного 3, вычесть 1, то получится число, кратное 3.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства утверждения необходимо показать, что для любого целого числа $n$, которое не делится на 3, выражение $n^2 - 1$ будет делиться на 3 без остатка.

Любое целое число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. Поскольку по условию число $n$ не кратно 3, его остаток от деления на 3 не может быть равен 0. Следовательно, возможны два случая.

Случай 1: Число $n$ при делении на 3 дает в остатке 1.
В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 3k + 1$, где $k$ — некоторое целое число.Подставим это выражение в $n^2 - 1$:$n^2 - 1 = (3k + 1)^2 - 1$Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:$(3k + 1)^2 - 1 = ( (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 ) - 1 = (9k^2 + 6k + 1) - 1 = 9k^2 + 6k$Вынесем общий множитель 3 за скобки:$9k^2 + 6k = 3(3k^2 + 2k)$Поскольку $k$ является целым числом, то и выражение в скобках $3k^2 + 2k$ также является целым числом. Обозначим его как $m = 3k^2 + 2k$. Тогда мы получаем $3m$, что по определению является числом, кратным 3.

Случай 2: Число $n$ при делении на 3 дает в остатке 2.
В этом случае число $n$ можно представить в виде $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое число.Подставим это выражение в $n^2 - 1$:$n^2 - 1 = (3k + 2)^2 - 1$Раскроем скобки:$(3k + 2)^2 - 1 = ( (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 ) - 1 = (9k^2 + 12k + 4) - 1 = 9k^2 + 12k + 3$Вынесем общий множитель 3 за скобки:$9k^2 + 12k + 3 = 3(3k^2 + 4k + 1)$Поскольку $k$ является целым числом, то и выражение в скобках $3k^2 + 4k + 1$ также является целым числом. Обозначим его как $p = 3k^2 + 4k + 1$. Тогда мы получаем $3p$, что по определению является числом, кратным 3.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты для целого числа, не кратного 3, и в каждом из них доказали, что если из его квадрата вычесть 1, то результат будет кратен 3.

Альтернативный способ доказательства:
Можно использовать формулу разности квадратов: $n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$.Выражения $(n - 1)$, $n$, $(n + 1)$ представляют собой три последовательных целых числа. Среди любых трех последовательных целых чисел одно и только одно обязательно делится на 3.По условию задачи, число $n$ на 3 не делится. Следовательно, на 3 должно делиться либо предыдущее число $(n - 1)$, либо следующее число $(n + 1)$.Поскольку один из множителей в произведении $(n - 1)(n + 1)$ кратен 3, то и само произведение кратно 3.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого целого числа $n$, не кратного 3, выражение $n^2-1$ делится на 3.