Номер 5, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 5, страница 39.

Условие.

5. Выясните, зависит ли от p значение выражения:

a) $ (p+8)^2 - (p+2)(p+14)= $

б) $ (p-7)^2 - (6-p)(8-p)= $

Решение.

Решение 2.

Чтобы выяснить, зависит ли значение выражения от переменной $p$, необходимо его упростить. Если в результате упрощения переменная $p$ исчезнет, то значение выражения от нее не зависит.

a) $(p+8)^2 - (p+2)(p+14)$

Раскроем скобки. Первое слагаемое — это квадрат суммы, который раскрывается по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Второе слагаемое — это произведение двух многочленов.

$(p+8)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 8 + 8^2 = p^2 + 16p + 64$

$(p+2)(p+14) = p \cdot p + p \cdot 14 + 2 \cdot p + 2 \cdot 14 = p^2 + 14p + 2p + 28 = p^2 + 16p + 28$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(p^2 + 16p + 64) - (p^2 + 16p + 28)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные, так как перед ними стоит знак минус:

$p^2 + 16p + 64 - p^2 - 16p - 28$

Приведем подобные слагаемые:

$(p^2 - p^2) + (16p - 16p) + (64 - 28) = 0 + 0 + 36 = 36$

В результате упрощения получилось число 36, переменная $p$ сократилась. Следовательно, значение выражения не зависит от $p$.

Ответ: значение выражения не зависит от $p$, оно равно 36.

б) $(p-7)^2 - (6-p)(8-p)$

Упростим данное выражение. Первое слагаемое — квадрат разности, который раскрывается по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(p-7)^2 = p^2 - 2 \cdot p \cdot 7 + 7^2 = p^2 - 14p + 49$

Перемножим две другие скобки:

$(6-p)(8-p) = 6 \cdot 8 - 6 \cdot p - p \cdot 8 + (-p) \cdot (-p) = 48 - 6p - 8p + p^2 = p^2 - 14p + 48$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(p^2 - 14p + 49) - (p^2 - 14p + 48)$

Раскроем вторые скобки с изменением знака:

$p^2 - 14p + 49 - p^2 + 14p - 48$

Приведем подобные слагаемые:

$(p^2 - p^2) + (-14p + 14p) + (49 - 48) = 0 + 0 + 1 = 1$

В результате упрощения получилось число 1. Это означает, что значение данного выражения не зависит от $p$.

Ответ: значение выражения не зависит от $p$, оно равно 1.