Номер 16, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 16, страница 43.

Условие.

16. Упростите выражение:

а) $(a + 5)^3 - (a - 5)^3 = $

б) $(x - y)^3 + 3xy(x - y) = $

Решение.

Решение 2.

а)

Для упрощения выражения $(a+5)^3 - (a-5)^3$ воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Применим эти формулы к нашему выражению, раскрыв каждую скобку:

$(a+5)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 + 5^3 = a^3 + 15a^2 + 75a + 125$

$(a-5)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 - 5^3 = a^3 - 15a^2 + 75a - 125$

Теперь выполним вычитание полученных многочленов:

$(a^3 + 15a^2 + 75a + 125) - (a^3 - 15a^2 + 75a - 125)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$a^3 + 15a^2 + 75a + 125 - a^3 + 15a^2 - 75a + 125$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (15a^2 + 15a^2) + (75a - 75a) + (125 + 125) = 0 + 30a^2 + 0 + 250 = 30a^2 + 250$

Ответ: $30a^2 + 250$

б)

Для упрощения выражения $(x-y)^3 + 3xy(x-y)$ можно заметить, что оно напоминает часть формулы разности кубов. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Сначала воспользуемся формулой куба разности для первого слагаемого:

$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Затем раскроем скобки во втором слагаемом:

$3xy(x-y) = 3x^2y - 3xy^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + (3x^2y - 3xy^2)$

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + 3x^2y - 3xy^2$

$x^3 + (-3x^2y + 3x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2) - y^3 = x^3 + 0 + 0 - y^3 = x^3 - y^3$

Другой способ — это вынести общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)((x-y)^2 + 3xy) = (x-y)(x^2 - 2xy + y^2 + 3xy) = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

Полученное выражение является формулой разности кубов.

$(x-y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$

Ответ: $x^3 - y^3$