Номер 1, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 29. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности - номер 1, страница 44.

Условие.

1. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

$121x^2 + 66x + 9 = (11x)^2 + 2 \cdot 11x \cdot 3 + 3^2 = (11x + 3)^2$

а) $y^2 - 18y + 81 = $

б) $p^2 - 1.2p + 0.36 = $

в) $36m^2 + n^2 + 12mn = $

г) $-12ab + 9a^2 + 4b^2 = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы представить трёхчлен $y^2 - 18y + 81$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем выражении первый член $y^2$ является квадратом $y$, то есть $a=y$.
Третий член $81$ является квадратом $9$, то есть $b=9$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $a$ и $b$ со знаком минус: $-2ab = -2 \cdot y \cdot 9 = -18y$.
Средний член совпадает. Следовательно, данный трёхчлен является полным квадратом разности.
$y^2 - 18y + 81 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = (y-9)^2$.
Ответ: $(y-9)^2$.

б) Рассмотрим трёхчлен $p^2 - 1,2p + 0,36$. Снова применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член $p^2$ — это квадрат $p$, значит $a=p$.
Третий член $0,36$ — это квадрат $0,6$, так как $(0,6)^2 = 0,36$. Значит $b=0,6$.
Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot p \cdot 0,6 = -1,2p$.
Средний член совпадает, поэтому выражение можно свернуть по формуле.
$p^2 - 1,2p + 0,36 = p^2 - 2 \cdot p \cdot 0,6 + (0,6)^2 = (p-0,6)^2$.
Ответ: $(p-0,6)^2$.

в) Дан трёхчлен $36m^2 + n^2 + 12mn$. Для удобства переставим члены в привычном порядке: $36m^2 + 12mn + n^2$.
Этот трёхчлен похож на формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Первый член $36m^2$ является квадратом $6m$, то есть $a=6m$.
Третий член $n^2$ является квадратом $n$, то есть $b=n$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $a$ и $b$: $2ab = 2 \cdot (6m) \cdot n = 12mn$.
Средний член совпадает, значит, это полный квадрат суммы.
$36m^2 + 12mn + n^2 = (6m)^2 + 2 \cdot 6m \cdot n + n^2 = (6m+n)^2$.
Ответ: $(6m+n)^2$.

г) Дан трёхчлен $-12ab + 9a^2 + 4b^2$. Переставим члены, чтобы получить стандартный вид: $9a^2 - 12ab + 4b^2$.
Это выражение соответствует формуле квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член $9a^2$ — это квадрат $3a$, то есть $x=3a$.
Третий член $4b^2$ — это квадрат $2b$, то есть $y=2b$.
Проверим средний член: $-2xy = -2 \cdot (3a) \cdot (2b) = -12ab$.
Средний член совпадает, значит, мы можем применить формулу.
$9a^2 - 12ab + 4b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (2b) + (2b)^2 = (3a-2b)^2$.
Ответ: $(3a-2b)^2$.