Номер 5, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 29. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности - номер 5, страница 45.

Условие.

5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или выражения, противоположного квадрату двучлена:

$-p^8 + 2p^4 - 1 = -(p^8 - 2p^4 + 1) = -(p^4 - 1)^2$

a) $n^4 - 4n^2 + 4 = $

б) $-x^2 - 2x - 1 = $

в) $100b^2 + 4 + 40b = $

г) $1 + 144m^2 - 24m = $

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы представить трёхчлен $n^4 - 4n^2 + 4$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$ для нашего выражения. Первый член $n^4$ можно представить как $(n^2)^2$. Значит, $a = n^2$.
Третий член $4$ можно представить как $2^2$. Значит, $b = 2$.
Теперь проверим, соответствует ли средний член $-4n^2$ удвоенному произведению $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot n^2 \cdot 2 = -4n^2$.
Так как все условия выполняются, мы можем применить формулу:
$n^4 - 4n^2 + 4 = (n^2)^2 - 2 \cdot n^2 \cdot 2 + 2^2 = (n^2 - 2)^2$.
Ответ: $(n^2 - 2)^2$.

б)

В выражении $-x^2 - 2x - 1$ все члены имеют отрицательный знак. Вынесем $-1$ за скобки:
$-x^2 - 2x - 1 = -(x^2 + 2x + 1)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках $x^2 + 2x + 1$. Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Первый член $x^2$ можно представить как $(x)^2$. Значит, $a = x$.
Третий член $1$ можно представить как $1^2$. Значит, $b = 1$.
Проверим средний член $2x$:
$2ab = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.
Подставим результат обратно в исходное выражение:
$-(x^2 + 2x + 1) = -(x + 1)^2$.
Ответ: $-(x + 1)^2$.

в)

Рассмотрим трёхчлен $100b^2 + 4 + 40b$. Для удобства расположим члены в стандартном порядке убывания степеней переменной $b$:
$100b^2 + 40b + 4$.
Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Первый член $100b^2$ можно представить как $(10b)^2$. Значит, $a = 10b$.
Третий член $4$ можно представить как $2^2$. Значит, $b = 2$.
Проверим средний член $40b$:
$2ab = 2 \cdot 10b \cdot 2 = 40b$.
Все условия выполняются, следовательно:
$100b^2 + 40b + 4 = (10b)^2 + 2 \cdot 10b \cdot 2 + 2^2 = (10b + 2)^2$.
Ответ: $(10b + 2)^2$.

г)

Рассмотрим трёхчлен $1 + 144m^2 - 24m$. Расположим члены в стандартном порядке:
$144m^2 - 24m + 1$.
Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член $144m^2$ можно представить как $(12m)^2$. Значит, $a = 12m$.
Третий член $1$ можно представить как $1^2$. Значит, $b = 1$.
Проверим средний член $-24m$:
$-2ab = -2 \cdot 12m \cdot 1 = -24m$.
Все условия выполняются, следовательно:
$144m^2 - 24m + 1 = (12m)^2 - 2 \cdot 12m \cdot 1 + 1^2 = (12m - 1)^2$.
Ответ: $(12m - 1)^2$.